I monomi con potenze prime sono densi in \( C([a,b]) \)

Messaggioda obnoxious » 07/07/2019, 01:31

Problema. Sia \( M = \{ x^p \, : \, p \text{ numero primo} \} \). Mostrare che \[ \overline{\text{span } M} = C([a,b];\mathbb{C}), \quad a>0 \]ove la chiusura è da intendersi nella sup-norma.

Non ho idea di come si faccia "a mano", ma con il cannone teorema giusto è un problema banale, per quanto curioso.
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Re: I monomi con potenze prime sono densi in \( C([a,b]) \)

Messaggioda Bremen000 » 07/07/2019, 17:01

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Mi sembra un problema molto difficile!

La mia idea inizialmente era di dimostrare che per ogni \( n \in \mathbb{N} \) esiste una successione \( \{x_k\}_{k \in \mathbb{N}} \subset M \) tale che \( x_k \to x^n \) nella sup-norma di \( [a,b] \) e poi usare Stone-Weierstrass

C'ho pensato un po' su e non mi è venuto in mente niente. Ho cercato la cosa sul web e ho scoperto che questo teorema ha un [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Müntz–Szász_theorem]nome[/url]! Quell'affare (cioè il nostro cannone) unito alla divergenza della serie dei reciproci dei primi dovrebbe portare alla conclusione desiderata.

Tu speravi davvero in una dimostrazione "a mano"? Quella del teorema si può trovare per esempio qua, in fondo a pagina 5.
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Re: I monomi con potenze prime sono densi in \( C([a,b]) \)

Messaggioda obnoxious » 07/07/2019, 18:58

@Bremen000: è quello che avevo in mente. E' un risultato molto bello (la cui dimostrazione sta anche nel libro di Peter Lax).
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