Il primo computer Turing-completo basato sul sistema numerico binario e totalmente programmabile fu lo Z3, costruito in Germania da Konrad Zuse, che lo realizzò praticamente da solo nel 1941 usando componenti riciclati di telefonia: mi pare un po' difficile che tu ne abbia usato uno precedente...
Comunque, scherzi a parte, il discorso delle soluzioni particolari di una equazione differenziale non si può liquidare in un post. Brevemente: l'equazione differenziale proposta è lineare per cui si può applicare il
principio di sovrapposizione degli effetti e determinare le soluzioni particolari delle due equazioni differenziali
$ y_1'' - 4y_1' + 3y_1 = e^{3x} $
$ y_2'' - 4y_2' + 3y_2 = x $
e poi sommarle. Si trova
$y(x) = c_1 e^x + c_2 e^{3x} + \varphi(x) $
ove $ \varphi(x) = 1/2 x e^{3x} + x/3 + 4/9 $
A questo punto per risolvere il PdC proposto basta imporre le due condizioni $y(0) = 0 $ e $y'(0) = 1 $ determinando in tal modo i valori delle due costanti $c_1 $ e $c_2 $.