Ripartiamo, infatti, perché non so se ci stiamo capendo.
Se $V$ è un $K$-spazio vettoriale, una quadrica su \(\mathbb{P}(V)\) è una (classe di equivalenza) di forma/e bilineare/i rispetto alla relazione di proporzionalità non nulla: lo spazio vettoriale delle applicazioni bilineari \(\text{Bil}(V) \cong \hom_K(V\otimes V, k)\cong (V\otimes V)^\star\) viene quozientato rispetto alla relazione di equivalenza che dice che $q\approx q'$ se esiste uno scalare non nullo $\alpha$ tale che $q' = \alpha q$.
Nell'ovvia identificazione tra forme quadratiche e polinomi omogenei di secondo grado, una quadrica è descritta da un(a classe di equivalenza di) polinomi omogenei di grado 2 nelle coordinate proiettive $X_0,..., X_n$; nell'ovvia identificazione tra lo spazio di questi polinomi e le matrici simmetriche a coefficienti in $K$, riesci ad associare una matrice simmetrica a una quadrica $\mathcal Q$, cioè a un polinomio \(p_{\mathscr Q}\), i cui ingressi sono univocamente determinati dai coefficienti di \(p_{\mathscr Q}\) nel modo che sicuramente conosci.
Ora, Una quadrica $\mathcal Q$ è un cono quadrico se esiste almeno un punto $P$ del supporto di $\mathcal Q$ con la
proprietà che, preso comunque un altro punto $Q$ del supporto, allora la retta $P \vee Q$ è tutta contenuta nel supporto
di $\mathcal Q$. Questa è una proprietà geometrica che non dipende dalla espressione di $\mathcal Q$ come classe di proporzionalità di polinomi quadratici. I punti con la proprietà di cono, formano quello che si chiama il
vertice del cono.
Inoltre, una quadrica è degenere se e solo se è un cono quadrico. Quindi questa condizione è solo un altro nome per una nozione che hai già, e che in algebra lineare si traduce immediatamente in una condizione sulla matrice che rappresenta $\mathcal Q$: come conseguenza infatti, una quadrica è un cono quadrico se, e solo se, la sua matrice associata è singolare. Prova a dimostrare, ora, che il nucleo di $A$ ha come varietà proiettiva associata precisamente il vertice di $\mathcal Q$.
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PS: sento fin da qui il rumore di Cristo che scende dalla croce per inchiodarci chi ha (non-)TeXato questo aborto.