Hamiltoniana (dubbio teoria)

Messaggioda vastità » 12/07/2019, 10:00

Buongiorno :),

mi piacerebbe farvi leggere questo passo che sto cercando di comprendere:

Immagine

Il punto che non mi torna è che se: $\Phi:(Q,P)|->(q,p)$ (diciamo manda le coordinate "grandi" in "piccole", per intenderci)

In coordinate il pullback (dato che è perdefinizione la composizione di una forma con una phi (passaggio di carte)) non dovrebbe essere: $PdQ-pdq=dS$? (mentre nel corpo dell'immagine si legge:$pdq-PdQ=dS$, cioè l'esatto opposto)

Pensavo fosse un errore di battitura, ma anche negli esercizi lo tratta così e non mi ci ritrovo mica troppo.

Grazie a chi mi aiuterà :)
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Re: Hamiltoniana (dubbio teoria)

Messaggioda Nikikinki » 12/07/2019, 17:31

Il risultato è corretto, quantomeno perché è lo stesso che si trova per via variazionale. Ma anche pensandolo come forme su varietà mi pare coerente.

$\theta$ è la forma definita sulla varietà dove vivono $(Q,P)$ ed il pullback inverte la direzione sulla varietà in cui vivono $(q,p)$
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Re: Hamiltoniana (dubbio teoria)

Messaggioda vastità » 12/07/2019, 18:14

Grazie ancora :)

Ok penso il punto di incomprensione sia qui
$\theta$ è la forma definita sulla varietà dove vivono $(Q,P)$ ed il pullback inverte la direzione sulla varietà in cui vivono $(q,p)$


Perché la forma non dovrebbe essere invece sulla varietà di $(q,p)$ e il pullback me lo porta su $(Q,P)$

cioè se ho:

$\Phi:(Q,P)->(p,q)$
e la forma theta la quale associa a ogni punto una certa mappa che porta in R $M->RR$
la forma theta cioè va da $M->M^\star$

il pullback sarebbe

$\Phi^\star(\theta)=\theta o \Phi$

Quindi mi sembra agire sui (Q,P) :smt012

Mi sa che ho ancora bisogno del tuo aiuto
Ultima modifica di vastità il 12/07/2019, 23:14, modificato 2 volte in totale.
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Re: Hamiltoniana (dubbio teoria)

Messaggioda Nikikinki » 12/07/2019, 19:04

Dato che $\omega=d\theta$ ed $\omega$ è definita per $(Q,P)$ perché quelle sono le variabili che hai, allora $\theta$ non può che accettare di essere definita sui $(Q,P)$.
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Re: Hamiltoniana (dubbio teoria)

Messaggioda vastità » 12/07/2019, 23:15

Però il pullback da che ricordi dovrebbe essere:

Se ho due varietà con $\Phi:M->N$
Ed $F:N->RR$

$\Phi^\star(F)=F o \Phi$
( a parolacce: il pullback dovrebbe tirarmi la F che va da N (codominio di $\Phi$) ad R sul dominio della $\Phi$)

quindi in questo caso sarebbe:

$\Phi^\star(\theta)=\theta o \Phi^(-1)$ ?

Grazie di nuovo
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Re: Hamiltoniana (dubbio teoria)

Messaggioda caulacau » 12/07/2019, 23:43

Sì, è un fatto di covarianza: quando "tiri indietro" campi, il pullback ha il differenziale di $\Phi$, quando tiri indietro forme, il pullback ha l'inverso del differenziale di $\Phi$ (o l'aggiunto? Ora non ricordo).
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Re: Hamiltoniana (dubbio teoria)

Messaggioda vastità » 12/07/2019, 23:49

Uhm questa cosa non la sapevo in effetti e mi sfugge. Mi piacerebbe approfondirle un po' meglio 'ste cose ammetto..
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Re: Hamiltoniana (dubbio teoria)

Messaggioda caulacau » 13/07/2019, 10:12

Il motivo è che se \(f : M \to N\) è una mappa di varietà, la mappa indotta tra i fibrati cotangenti è \(T^*f : T^*N \to T^*M\); per riottenere una mappa "nella direzione giusta" devi supporre che $f$ sia un diffeomorfismo, e considerare l'inversa di \(T^*f\).

Spazio tangente per spazio tangente non fai altro che considerare l'inversa della mappa lineare \(T_p^*f : T_{fp}^*N \to T_p^* M\) indotta tra gli spazi duali di $T_pM$ e $T_{fp}N$.
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Re: Hamiltoniana (dubbio teoria)

Messaggioda vastità » 13/07/2019, 10:57

Giustissimo!

Grazie mille ad entrambi :)
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