Irriducibilita dei polinomi in due indeterminate

Messaggioda rsrre1588 » 12/07/2019, 18:49

Salve. È la mia prima volta, quindi chiedo scusa a tutti se non so scrivere bene le formule. Desidero una sorta d'aiuto.

Devo dire se i due polinomi assegnati $F$ e $G$ sono irriducibili rispettivamente in $ZZ[X,Y]$ e in $CC[X,Y]$ dimostrandolo e giustificando ogni risposta.

I polinomi sono $F(X,Y) = 4X^3 - 2Y$ e $G(X,Y) = X^3 - (Y^2 + 1)$

Con ^ ho denotato l'elevamento a potenza, con MCD il massimo comune divisore.

Io ho proceduto così.
$F$ me lo sono scritto come $2(2X^3 - Y)$ e ho cercato il $text(MCD)\{2X^3,Y\} =1$ visto che $2$ è un polinomio di grado zero.
Quindi è irriducibile. Ma dove?

G me lo sono scritto come $X^3 - Y^2 - 1$ e ho cercato il $text(MCD)\{X^3,Y^2+1 \} =1$ ma non so stabilire se è irriducibile in $ZZ[X,Y]$ e in $CC[X,Y]$.
Sapreste aiutarmi dopo il mio procedimento?
Saluti.
rsrre1588
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Re: Irriducibilita dei polinomi in due indeterminate

Messaggioda caulacau » 13/07/2019, 08:57

Il primo dovrebbe essere irriducibile su \(\mathbb Z[Y]\) per Eisenstein, e su \(\mathbb Z[X]\) perché è lineare in $Y$. Per il secondo, su \(\mathbb Z[Y]\) è della forma \(X^3 + q\), dove nessuna delle radici terze di $q$ sta nell'anello dei coefficienti, e su \(\mathbb Z[X]\) basta calcolare il discriminante vedere che non è un quadrato perfetto.
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Re: Irriducibilita dei polinomi in due indeterminate

Messaggioda rsrre1588 » 13/07/2019, 09:59

Ma il discriminante del polinomio G: X^3 - Y^2 - 1?
Il polinomio, allora, me lo dovrò scrivere - Y^2 + X^3 - 1 ordinandolo rispetto a Y.
E il discriminante su quale variabile X o Y?
Rispetto alla variabile Y viene 4*(X^3 - 1). Risolvendo ottengo le radici x = 1, x = - 1/2 - i*sqrt(3)/2,[/-1/2+i*sqrt(3)/2] dove i è l'unità immaginaria.
Rispetto alla variabile X è un'equazione di grado tre e non so come calcolare il discriminante...
* sta ad indicare il simbolo di moltiplicazione.
Che cosa devo fare?
Quindi il polinomio F è irriducibile sia in Z[X,Y] che in C[X,Y]? Ma per Eisenstein perché è irriducibile?
Help!
Saluti.
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Re: Irriducibilita dei polinomi in due indeterminate

Messaggioda caulacau » 13/07/2019, 11:49

\(Y^2 + X^3 - 1\) è un polinomio di secondo grado in $Y$, tra l'altro senza termine lineare, quindi è sufficiente vedere che \(1-X^3\) non è un quadrato in \(\mathbb Z[X]\) (come potrebbe?).
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Re: Irriducibilita dei polinomi in due indeterminate

Messaggioda Martino » 13/07/2019, 12:31

Per entrambi puoi usare il criterio di Eisenstein "esteso", che dice che se $A$ è UFD e $f(X) in A[X]$ verifica le condizioni di Eisenstein (dove sostituisci "numero primo" con "elemento irriducibile di $A$") allora $f(X)$ è irriducibile.

Nel tuo caso $A=ZZ[Y]$ (e $A=CC[Y]$ nell'altro caso). Eisenstein si applica facilmente a $X^3-(Y^2+1)$ in $ZZ[Y][X]$ perché $Y^2+1$ è irriducibile in $ZZ[Y]$, mentre in $CC[Y][X]$ devi sistemare un dettaglio.
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Re: Irriducibilita dei polinomi in due indeterminate

Messaggioda rsrre1588 » 13/07/2019, 13:21

Cioè quale dettaglio se non sono indiscreto?
E poi F e G sono entrambi irriducibili in Z[X,Y] oppure in C[X,Y]? Ma LCD{X^3,Y^2 + 1} =1 non mi garantisce che il polinomio G sia irriducibile in C[[X,Y] e LCD{2X^3,Y}=1 non mi garantisce e che il polinomio F sia irriducibile in C[X,Y]?
Per il polinomio G già capito per il polinomio F è poco chiaro.

4X^3 - 2Y = 2*(2X^3 - Y) e allora?
Come lo utilizo il criterio di Einsensten per dire che è irriducibile in Z[X,Y]?
Scusate l'insistenza.
Vi prego aiutatemi.
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Re: Irriducibilita dei polinomi in due indeterminate

Messaggioda rsrre1588 » 13/07/2019, 14:00

X^3 - 1 = (X - 1)(X - 1/2- i* sqrt(3)/2)(X - 1/2 + i*sqrt(3)/2)).
Ma Il dettaglio da sistemare in che cosa consiste?
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Re: Irriducibilita dei polinomi in due indeterminate

Messaggioda Martino » 13/07/2019, 15:05

Il dettaglio è che $Y^2+1$ non è irriducibile in $CC[Y]$.
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Re: Irriducibilita dei polinomi in due indeterminate

Messaggioda rsrre1588 » 13/07/2019, 15:50

E quindi tutto il polinomio X^3 - (Y^2 + 1) è IRRIDUCIBILE in C[X,Y] oppure è RIDUCIBILE?
Me lo potrebbe spiegare meglio al fine di arrivare al dunque?
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Re: Irriducibilita dei polinomi in due indeterminate

Messaggioda Martino » 14/07/2019, 19:27

È irriducibile.
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