esercizio m.q elettrone

[Andrea-.-'']

Buongiono,
Non riesco a risolvere questo esercizio, spero possiate aiutarmi
Il mio problema è il seguente:
Per sapere come è fatto lo spettro devo sapere come è fatto $H$( io ho provato a scriverlo in più di un modo)
Una volta trovato $H$ o si separa in qualche maniera in cartesiane/sferiche oppure devo risolverlo così come è, ma
le variabili non mi si separano e non so come procedere

[Nikikinki]

Bump da disperazione immagino L'avevo letto già ieri, ma essendo un problema di fondamentale importanza dal punto di vista fisico (in generale, rispetto al moto non solo vincolato al piano come ti chiede qui) volevo aspettare di avere più tempo per una risposta ottimale. Cosa che non mi riesce nemmeno oggi purtroppo ( o per fortuna, sto ultimando i preparativi per la vacanza bucolica della prossima settimana ). Magari stasera potrei trovare un po' di tempo. Ad ogni modo il concetto è che devi osservare come l'hamiltoniana non dipenda esplicitamente da x e z, per cui le quantità di moto (generalizzate) lungo questi assi si conservano. Inoltre dato che la componente lungo z del potenziale vettore è nulla vuol dire che la componente z della q di moto generalizzata coincide con quella ordinaria da cui un importante risultato che porta alla non quantizzazione del moto lungo la direzione del campo. Quindi sostituendo nell'eq di Schroedinger la funzione d'onda che ottieni con queste considerazioni vedrai che ti trovi a risolvere una equazione del tipo oscillatore armonico dalla quale puoi estrarre la forma degli autovalori. Per quanto abbiamo detto ci sarà una parte di spetro continuo, dovuto al moto lungo z, ed una parte discreta dovuto al moto nel piano. Visto che la tua particella si muove solo nel piano, la parte di spettro continuo (quella per z) scompare e restano i livelli dell'oscillatore armonico, con una frequenza opportuna.

In alternativa andando di piedi e non di testa potresti cambiare il potenziale vettore con un altro valido per mantenere la gauge di Coulomb ed anche in modo da verificare $A=1/2 B \times r$ che è lecito perché la nuova funzione d'onda viene solo rifasata quindi non cambi le soluzioni. Però se non ricordo male con questa via c'erano parecchi termini da considerare e qualche sottigliezza. Insomma, meglio andare di testa.

[Andrea-.-'']

Buone vacanze allora !!!

Bump da disperazione immagino

Beccato

Adesso provo a fare come hai proposto

[Nikikinki]

Ho ritagliato un po' di tempo. Non so se alla fine sei riuscito, ma ti rispondo bene lo stesso. Vediamo un caso più generale al tuo, tanto prima o poi ti capiterà. Consideriamo la particella anche dotata di spin, in quel campo omogeneo e costante generato da quel potenziale vettore. Quindi oltre al tuo caso avremo anche altri due addendi, cioè $p_z^2/(2m)$ e $-\mu B s_z$ ($\mu$ presa per assorbire tutte le costanti del caso).

Con un calcolo simile al tuo si giunge all'hamiltoniana

$H=1/(2m)[(p_x+eB/c y)^2+p_y^2+p_z^2]-\muBs_z$

l'operatore di spin commuta con tutto quindi si conserva e possiamo valutarne l'autovalore che chiamo semplicemente $s$. Essendo ormai una semplice costante possiamo formalmente scrivere l'eq di Sch. come al solito, valutando solo la dipendenza della funzione d'onda dalle coordinate.
Scriviamo quindi

$1/(2m) [(p_x+eB/c y)^2+p_y^2+p_z^2]\psi - \muBs \psi = E \psi$

Come dicevo la mancata dipendenza esplicita da $x,z$ fa sì che le componenti relative della q di m generalizzata si conservano .

A questo punto possiamo cominciare a dare forma alla funzione d'onda che sarà qualcosa del tipo (la h è h tagliato, ma ormai sei un quantoman esperto )

$\psi=e^(i/h p_x x) e^(i/h p_z z)\phi(y)$

ed ovviamente i valori degli impulsi conservati possono essere quello che vogliono su tutto l'asse reale.

Come si diceva lungo $z$ non c'è nessuna componente del potenziale vettore quindi in realtà l'impulso generalizzato è, come spesso accade, proprio quello ordinario $mv_z$ , quindi non c'è quantizzazione del moto lungo la direzione del campo.

Ora sostituendo nell'eq di Sch che abbiamo scritto, quella forma della $\psi$, troverai che (ricorda che $p_x$ e $p_z$ sono numeri! Come operatore resta solo la derivata seconda lungo y)

$\phi''+2m/h^2 {E+\mu B s-p_z^2/(2m)-1/2 e^2B^2/(mc^2) (y^2+c^2p_x^2/(e^2B^2)-2ycp_x/(eB))}\phi=0$

se scriviamo $\barE=E+\mu B s-p_z^2/(2m)$ ed $\omega=|e| B/(mc)$ e lo shift del centro di oscillazione come $\bary=-cp_x/(eB)$

Tutto diventa più evidente

$\phi''+2m/h^2 {\barE-m/2 \omega^2 (y-\bary)^2}\phi=0$


Ed ormai è chiaro che questo è un oscillatore armonico decentrato, il cui spettro è

$\barE=(n+1/2) h \omega$ ma allora ricavando la $E$ (che se ce ne fossimo dimenticati era lo spettro iniziale che ci interessava)

$E=(n+1/2) h \omega-\mu B s + p_z^2/(2m)$

e finalmente abbiamo trovato le energie in cui l'oscillatore armonico e lo spin determinano la parte discreta dello spettro, mentre la parte continua è data dal valore della velocità della particella lungo $z$.

Nel tuo caso la particella ha spin 0 e si muove nel piano, quindi rimane solo

$E=(n+1/2) h \omega$ ricordiamo con $\omega=(|e| B)/(mc)$ . Questi sono tanto importanti che hanno un nome e sono detti livelli di Landau.


PS: volendo ormai puoi anche scrivere la funzione d'onda completa ed hai veramente tutto.

PPS: Ma sto esame quando lo devi dare?

[Andrea-.-'']

Grande!!!!!! Sei stato provvidenziale

Ovviamente non mi era riuscito , è uno di quelli che proprio non mi tornano.
In realtà ce ne sarebbe anche un altro ma lasciamo perdere

L'esame c'è tra una settimana circa, e vorrei usare il tempo che mi rimane per riguardarmi la teoria e rivedere gli esercizi che ho già fatto (Sarà una buona strategia?)

P.S. Se passo l'esame stappo due bottiglie, una per me e una per te

[Nikikinki]

È un piacere Certo come strategia alla fine riguardare tutto quello che si è fatto è sempre utile, soprattutto per un esame come questo fatto da tanti concetti quasi tutti nuovi rispetto alla fisica classica. Poi arrivato ad una settimana prima fare cose nuove è completamente inutile serve solo a confondere. Allora in bocca al lupo per l'esame! La prossima settimana come ho detto sarò in vacanza quindi passerò poco o niente dal forum, ma se hai bisogno posta pure; non sarò in grado di mettermi a risolvere esercizi ma se non ti dovesse rispondere nessuno proverò a darti comunque qualche dritta