[Meccanica Razionale] Calcolo energia totale del sistema

[Sossella]

Buonasera a tutti
Mi è stato dato questo esercizio da risolvere, però penso di non essere sulla buona strada
Il testo dell'esercizio chiede di trovare l'energia totale del sistema rappresentato in figura, due aste libere di ruotare, con il punto Q libero di scorrere sull'asta AB, vincoli lisci e ad un grado di libertà (da scegliere)


Io l'ho risolto come segue: considero come parametro lagrangiano l'angolo $ theta $ formato da $ AO'Q $
Baricentro asta OQ : $ (1/2*l*cos(theta)), 1/2*l*sin(theta)) $; Baricentro asta AB : $ (l*cos(pi-theta)), l*sin(pi-theta))$
Calcolo il potenziale: $ U_tot = -mgl/2sin(theta) - 2mglsin(pi-theta) $
Calcolo l'energia cinetica:
Siccome le aste sono soggette solo a vingoli di rotazione, allora devo calcolare solo l'energia rotazionale
$ T_OQ = 1/2*1/3*ml^2(d(theta)/dt)^2 = 1/6ml^2(d(theta)/dt)^2 $
Poi mi fermo qui
Secondo voi possono essere corretti come passaggi, oppure sbaglio in qualche punto??

Vi ringrazio
Andrea

[Sossella]

Nessuno?

[Thememe1996]

Mi sembra sia corretto, a parte come calcoli l’angolo formata dall’asta AB con l’asse y: il triangolo AOQ è iscoscele, perciò gli angoli in Q e A sono uguali. Se li chiami x, vale che π=θ+2x, quindi x=π/2-θ/2.
Di conseguenza andrebbe cambiata l’ordinata del baricentro dell’asta AB in U, e aggiunta l’energia cinetica dell’asta AB in T, in cui mi sembra esserci solo OQ.

[Sossella]

Eccomi qui, scusa del ritardo! Ti ringrazio per la risposta. Allora ho provato a sistemare:
Baricentro asta OQ $ (l/2*cos(theta), l/2*sin(theta)) $ Baricentro asta AB $ (l⋅cos(π/2−θ/2),l⋅sin(π/2−θ/2)) $
Potenziale $ U = −mgl/2sin(θ)−2mglsin(π/2−θ/2) = -mglsin(theta)+2mglcos(theta/2) = mgl(2cos(theta/2) - sin(theta)) $
Energia cinetica asta OQ $ T_(OQ)=1/2⋅1/3⋅ml2(dθdt)2=1/6ml^2(dθ/dt)^2 $
Energia cinetica asta AB $ T_(AB)=1/2⋅1/3⋅2m4l2(dθdt)2=4/3ml^2(dθ/dt)^2 $

Che dici?

[professorkappa]

Ma le masse delle aste sono uguali o e' uguale la densita?

Ovvero, $m_1=m_2$ oppure $m_2=2m_1$???

Comunque, Il calcolo e' banale. Sono aste che ruotano rispetto alle cerniere, per cui, detti $I_1$ e $I_2$ i momenti di inerzia rispetto alle cerniere

$E_k=1/2(I_1dottheta^2+I_2dotphi^2$ con

$I_1=[m_1L^2]/3$
$I_2=[4m_2L^2]/3$

e dalla relazione $theta+2phi=pi$ si ottiene per derivazione $dottheta+2dotphi=0$.

Sostituendo

$E_k=1/6(m_1+m_2)L^2dottheta^2$ da definire se sai la relazione tra m1 e m2.

Energia potenziale

$U=-m_1gL/2sintheta-m_2gLsinphi$ e di nuovo per sostituzione
$U=-m_1gL/2sintheta-m_2gLsin(pi/2-theta/2)$

per prostaferesi

$U=-(m_1sin(theta/2)+m_2)gLcos(theta/2)$

A meno di errori di copia e incolla con l'editor

[Sossella]

Ma le masse delle aste sono uguali o e' uguale la densita?

Ovvero, $m_1=m_2$ oppure $m_2=2m_1$???

Comunque, Il calcolo e' banale. Sono aste che ruotano rispetto alle cerniere, per cui, detti $I_1$ e $I_2$ i momenti di inerzia rispetto alle cerniere

$E_k=1/2(I_1dottheta^2+I_2dotphi^2$ con

$I_1=[m_1L^2]/3$
$I_2=[4m_2L^2]/3$

e dalla relazione $theta+2phi=pi$ si ottiene per derivazione $dottheta+2dotphi=0$.

Sostituendo

$E_k=1/6(m_1+m_2)L^2dottheta^2$ da definire se sai la relazione tra m1 e m2.

Energia potenziale

$U=-m_1gL/2sintheta-m_2gLsinphi$ e di nuovo per sostituzione
$U=-m_1gL/2sintheta-m_2gLsin(pi/2-theta/2)$

per prostaferesi

$U=-(m_1sin(theta/2)+m_2)gLcos(theta/2)$

A meno di errori di copia e incolla con l'editor

Ti ringrazio!

Scusa, ma le masse erano le seguenti: massa asta OQ = m, massa asta AB = 2m