[Meccanica Razionale] Calcolo energia totale del sistema

Messaggioda Sossella » 01/07/2019, 18:04

Buonasera a tutti :)
Mi è stato dato questo esercizio da risolvere, però penso di non essere sulla buona strada :?
Il testo dell'esercizio chiede di trovare l'energia totale del sistema rappresentato in figura, due aste libere di ruotare, con il punto Q libero di scorrere sull'asta AB, vincoli lisci e ad un grado di libertà (da scegliere)
Immagine

Io l'ho risolto come segue: considero come parametro lagrangiano l'angolo $ theta $ formato da $ AO'Q $
Baricentro asta OQ : $ (1/2*l*cos(theta)), 1/2*l*sin(theta)) $; Baricentro asta AB : $ (l*cos(pi-theta)), l*sin(pi-theta))$
Calcolo il potenziale: $ U_tot = -mgl/2sin(theta) - 2mglsin(pi-theta) $
Calcolo l'energia cinetica:
Siccome le aste sono soggette solo a vingoli di rotazione, allora devo calcolare solo l'energia rotazionale
$ T_OQ = 1/2*1/3*ml^2(d(theta)/dt)^2 = 1/6ml^2(d(theta)/dt)^2 $
Poi mi fermo qui :(
Secondo voi possono essere corretti come passaggi, oppure sbaglio in qualche punto?? :cry:

Vi ringrazio
Andrea
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Re: [Meccanica Razionale] Calcolo energia totale del sistema

Messaggioda Sossella » 06/07/2019, 15:52

Nessuno? :(
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Re: [Meccanica Razionale] Calcolo energia totale del sistema

Messaggioda Thememe1996 » 08/07/2019, 07:58

Mi sembra sia corretto, a parte come calcoli l’angolo formata dall’asta AB con l’asse y: il triangolo AOQ è iscoscele, perciò gli angoli in Q e A sono uguali. Se li chiami x, vale che π=θ+2x, quindi x=π/2-θ/2.
Di conseguenza andrebbe cambiata l’ordinata del baricentro dell’asta AB in U, e aggiunta l’energia cinetica dell’asta AB in T, in cui mi sembra esserci solo OQ.
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Re: [Meccanica Razionale] Calcolo energia totale del sistema

Messaggioda Sossella » 10/07/2019, 20:01

Eccomi qui, scusa del ritardo! Ti ringrazio per la risposta. Allora ho provato a sistemare:
Baricentro asta OQ $ (l/2*cos(theta), l/2*sin(theta)) $ Baricentro asta AB $ (l⋅cos(π/2−θ/2),l⋅sin(π/2−θ/2)) $
Potenziale $ U = −mgl/2sin(θ)−2mglsin(π/2−θ/2) = -mglsin(theta)+2mglcos(theta/2) = mgl(2cos(theta/2) - sin(theta)) $
Energia cinetica asta OQ $ T_(OQ)=1/2⋅1/3⋅ml2(dθdt)2=1/6ml^2(dθ/dt)^2 $
Energia cinetica asta AB $ T_(AB)=1/2⋅1/3⋅2m4l2(dθdt)2=4/3ml^2(dθ/dt)^2 $

Che dici? :?
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Re: [Meccanica Razionale] Calcolo energia totale del sistema

Messaggioda professorkappa » 10/07/2019, 22:43

Ma le masse delle aste sono uguali o e' uguale la densita?

Ovvero, $m_1=m_2$ oppure $m_2=2m_1$???

Comunque, Il calcolo e' banale. Sono aste che ruotano rispetto alle cerniere, per cui, detti $I_1$ e $I_2$ i momenti di inerzia rispetto alle cerniere

$E_k=1/2(I_1dottheta^2+I_2dotphi^2$ con

$I_1=[m_1L^2]/3$
$I_2=[4m_2L^2]/3$

e dalla relazione $theta+2phi=pi$ si ottiene per derivazione $dottheta+2dotphi=0$.

Sostituendo

$E_k=1/6(m_1+m_2)L^2dottheta^2$ da definire se sai la relazione tra m1 e m2.

Energia potenziale

$U=-m_1gL/2sintheta-m_2gLsinphi$ e di nuovo per sostituzione
$U=-m_1gL/2sintheta-m_2gLsin(pi/2-theta/2)$

per prostaferesi

$U=-(m_1sin(theta/2)+m_2)gLcos(theta/2)$

A meno di errori di copia e incolla con l'editor
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Re: [Meccanica Razionale] Calcolo energia totale del sistema

Messaggioda Sossella » 12/07/2019, 19:23

professorkappa ha scritto:Ma le masse delle aste sono uguali o e' uguale la densita?

Ovvero, $m_1=m_2$ oppure $m_2=2m_1$???

Comunque, Il calcolo e' banale. Sono aste che ruotano rispetto alle cerniere, per cui, detti $I_1$ e $I_2$ i momenti di inerzia rispetto alle cerniere

$E_k=1/2(I_1dottheta^2+I_2dotphi^2$ con

$I_1=[m_1L^2]/3$
$I_2=[4m_2L^2]/3$

e dalla relazione $theta+2phi=pi$ si ottiene per derivazione $dottheta+2dotphi=0$.

Sostituendo

$E_k=1/6(m_1+m_2)L^2dottheta^2$ da definire se sai la relazione tra m1 e m2.

Energia potenziale

$U=-m_1gL/2sintheta-m_2gLsinphi$ e di nuovo per sostituzione
$U=-m_1gL/2sintheta-m_2gLsin(pi/2-theta/2)$

per prostaferesi

$U=-(m_1sin(theta/2)+m_2)gLcos(theta/2)$

A meno di errori di copia e incolla con l'editor


Ti ringrazio!

Scusa, ma le masse erano le seguenti: massa asta OQ = m, massa asta AB = 2m
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