Problema scuola galileiana

Messaggioda gioxshadow » 08/07/2019, 17:29

Salve, avevo alcuni dubbi su un problema assegnato durante la seconda prova scritta di matematica per l'ammissione alla Scuola Galileiana di Padova per l'a.a. 2016/17. Vi prego di aiutarmi :roll: .

Immagine

"Sia n un intero positivo pari, e si consideri un poligono regolare Pn con n lati e con i vertici numerati in senso orario da 1 a n. Sia k un intero positivo minore o uguale a n. Dato un insieme di k vertici X chiamiamo Xopp l’insieme costituito dai vertici
che sono opposti ai vertici in X rispetto al centro di Pn (per esempio, se n = 6, k = 3, e X = {1, 2, 3}, allora Xopp = {4, 5, 6}, e se invece X = {1, 2, 4}, allora Xopp = {1, 5, 4}).
i) Calcolare, per ogni n e k come sopra, il numero a(k ad apice)(n a pedice) degli insiemi X costituiti da k vertici e tali che X = Xopp.
ii) Si consideri ora per ogni intero positivo m il polinomio gm(x) = x^(m−1) +· · ·+x+ 1 (per cui per esempio g1(x) = 1, g2(x) = x + 1 etc...). Dimostrare che per ogni n e k come sopra vale:
limx→−1 [gn(x) gn−1(x)· · · gn−k+1(x)] / [gk(x) gk−1(x)· · · g1(x)] = a(k ad apice)(n a pedice)"

Soluzione i):
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Immagine
Il "coefficiente binomiale" permette di calcolare il numero di sottoinsieme di k elementi formati a partire da un insieme di n elementi, nel nostro caso. Cosa si intende, esattamente, per "insieme X lasciato fisso da F"?

Soluzione ii):
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Immagine
Immagine


Nella soluzione non capisco cosa significhi "insieme lasciato fisso da F" e come si arrivi a quel coefficiente binomiale (ora credo di aver iniziato a capire che, per definizione, il coefficiente binomiale permette di calcolare il numero di sottoinsiemi). Grazie a chiunque mi aiuterà! P.S. lascio il link con testo originale con annessa soluzione, il problema è l'esercizio 5: http://unipd-scuolagalileiana.it/sites/ ... 202016.pdf
Ultima modifica di gioxshadow il 09/07/2019, 10:45, modificato 1 volta in totale.
gioxshadow
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 1 di 3
Iscritto il: 08/07/2019, 16:45

Re: Problema scuola galileiana

Messaggioda caulacau » 08/07/2019, 17:42

\(F : 2^n \to 2^n\) manda un sottoinsieme $X \subseteq 2^n$ in \(X^\text{opp}\); ti stanno chiedendo di trovare la cardinalità dell'insieme di punti fissi di questa mappa. Il motivo per cui si considera il binomiale \(\binom{n/2}{k/2}\) poi ti è spiegato a parole: se $X$ è $F$-fisso, quando contiene certi elementi contiene anche i loro opposti.
Avatar utente
caulacau
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 110 di 158
Iscritto il: 08/05/2019, 19:30

Re: Problema scuola galileiana

Messaggioda gioxshadow » 08/07/2019, 17:50

Scusami, non sono solito lavorare con problemi di questa tipologia (non tocco la teoria degli insiemi da anni, alla faccia del liceo scientifico...), potresti quindi spiegarmi meglio? Non ho mai sentito parlare di "punti fissi di mappe", potresti dirmi per favore come poter approfondire l'argomento? Ti ringrazio in anticipo.
gioxshadow
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 2 di 3
Iscritto il: 08/07/2019, 16:45

Re: Problema scuola galileiana

Messaggioda gioxshadow » 10/07/2019, 14:27

Nessuno saprebbe aiutarmi?
gioxshadow
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 3 di 3
Iscritto il: 08/07/2019, 16:45

Re: Problema scuola galileiana

Messaggioda caulacau » 12/07/2019, 21:46

Un elemento a è F-fisso, se F è una funzione da un insieme A in sé stesso, se F(a) = a.
Avatar utente
caulacau
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 131 di 158
Iscritto il: 08/05/2019, 19:30


Torna a Scervelliamoci un po'

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 0 ospiti