Modo corretto di trovare un'equazione cartesiana di un sottospazio da una sua base

Messaggioda rain » 13/07/2019, 15:56

Salve, ho qualche problema nel ricavare l'equazione che descrive un certo sottospazio vettoriale conoscendo una sua base.

In particolare mi trovo a dover scrivere l'equazione dell'immagine dell'endomorfismo in \(\displaystyle \mathbb{R^3}\ \) che rispetto alle basi canoniche ha questa matrice associata:

\(\displaystyle
\begin{pmatrix}
h & h - 1 & h + 2 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & -1
\end{pmatrix} \)

dove ovviamente ogni colonna corrisponde a una immagine rispetto a un vettore della base canonica e in questo caso coordinate e valori coincidono.
La matrice è già ridotta per righe, per \(\displaystyle h \neq 0 \) il rango è massimo etc. etc....
Quando \(\displaystyle h = 0 \) si trova un minore di rango 2 e quindi la matrice ha rango 2, così la dimensione dell'immagine. Il problema sorge al momento di calcolarla.

\(\displaystyle
\begin{pmatrix}
0 & -1 & 2 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & -1
\end{pmatrix} \)

Questa matrice demolisce le mie fragili conoscenze meccaniche :-D
Solitamente riduco la matrice, segno la posizione dei pivot e poi procedo nel rintracciare nella matrice originale le colonne contenenti i pivot e quelle saranno coordinate di un vettore di una base dell'immagine (anche se in questo caso coordinate e vettori coincidono); qui però:

  • Quella colonna di zeri a sinistra mi disorienta. Cosa ci dice sulla matrice? È forse già ridotta in qualche modo e non me ne rendo conto io, troppo abituato a ragionare per righe? Ho visto che il rango è 2 solo grazie al minore dato dalla sottomatrice in alto a destra ma "in quanto a Gauss" non ho idea di come sia messa questa matrice.
  • Anche se riuscissi a trovare una base dell'immagine, come dovrei procedere di fatto a calcolare l'equazione? Ho visto in giro che qualcuno sistema una matrice con le coordinate di un vettore generico come riga o colonna finale per poi ridurla in modo da imporre una riga o una colonna tutta nulla, ma non so secondo quale criterio ciò può venir fatto ne perché.
:roll:

Grazie in anticipo a chi dovesse aiutarmi
rain
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Re: Modo corretto di trovare un'equazione cartesiana di un sottospazio da una sua base

Messaggioda Bokonon » 13/07/2019, 23:30

rain ha scritto: Quella colonna di zeri a sinistra mi disorienta. Cosa ci dice sulla matrice?

L'immagine è creata dalle combinazioni lineari delle colonne.
$ ( ( 0 , -1 , 2 ),( 0 , 1 , 2 ),( 0 , 0 , -1 ) ) ( ( a ),( b ),( c ) ) = ( ( x ),( y ),( z ) ) $
che è equivalente a $ a( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) +b( ( -1 ),( 1 ),( 0 ) )+c( ( 2 ),( 2 ),( -1 ) )=( ( x ),( y ),( z ) ) $
Nella sostanza dice che "le comb. lineare delle colonne creano tutti i vettori dell'immagine".
Ora, il vettore nullo non crea alcunchè...infatti non può far parte di una base.
Quindi la seconda e la terza colonna sono la base dell'immagine.

rain ha scritto:Anche se riuscissi a trovare una base dell'immagine, come dovrei procedere di fatto a calcolare l'equazione?

E' scritto sopra.
$( ( x ),( y ),( z ) )=b( ( -1 ),( 1 ),( 0 ) )+c( ( 2 ),( 2 ),( -1 ) )$
ovvero:
$ { ( x=2c-b ),( y=b+2c ),( z=-c ):} $
che è il sistema parametrico di un piano in $R^3$ passante per l'origine.
Lo risolvi e ottieni l'equazione cartesiana $x+y+4z=0$
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Re: Modo corretto di trovare un'equazione cartesiana di un sottospazio da una sua base

Messaggioda rain » 14/07/2019, 10:51

Ora tutto ha un senso. Ridurre a casaccio non mi piaceva nemmeno un po' come idea. Grazie!
rain
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