manu19 ha scritto:[...] stabilire la suriettività e l'iniettività dell'applicazione $f:RR^3 -> RR^2$ rispetto alle basi canoniche $ ( ( 1 , 2 , -2 ),( h , 2 , -2h ) ) $.
L'applicazione $f$ assegna al vettore $(x,y,z) in RR^3$ l'immagine:
\[
f(x,y,z) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ h & 2 & -2h \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = (x+2y-2z, hx + 2y -2h z)\; .
\]
La matrice associata ad $f$ ha rango $>= 1$ (perché ha un entrata non nulla) e certamente $<=2$ (perché $2$ è la dimensione minore della matrice); per stabilire se il rango della matrice è $1$ o $2$ orliamo un minore non nullo d'ordine $1$ con i possibili minori d'ordine $2$. Partendo dal minore formato dall'elemento $1!=0$ nell'angolo in alto a sinistra (1^ riga e 1^ colonna), possiamo orlare sfruttando 2^ riga e 2^ colonna o 2^ riga e 3^ colonna, ottenendo i minori:
\[
\begin{split}
A_{12,12} &:= \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ h & 2\end{vmatrix} = 2(1-h)\; , \\
A_{12,13} &= \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ h & -2h\end{vmatrix} = 0\; ;
\end{split}
\]
visto che $A_{12,13} =0$, la matrice $A$ ha:
- $"rank" A = 1$ se $A_{12,12} = 0$, ossia se $h = 1$;
- $"rank" A = 2$ se $A_{12,12} != 0$, ossia se $h != 1$.
Ora, per noti fatti, $dim "Im"(f) = "rank" A$, quindi:
- $dim "Im"(f) = 1$ se $h = 1$;
- $dim "Im"(f) = 2$ se $h != 1$;
d'altra parte, risulta $dim "Ker"(f) + dim "Im"(f) = dim "Dom"(f) = dim RR^3 = 3$ per il
Teorema della Dimensione, sicché:
- $dim "Ker"(f) = 2$ se $h = 1$;
- $dim "Ker"(f) = 1$ se $h != 1$.
Da ciò segue che:
- $f$ non è mai iniettiva, poiché $dim "Ker"(f) != 0$ per ogni $h in RR$;
- $f$ è suriettiva solo per $h != 1$, poiché $dim "Im"(f) = 2 = dim RR^2$.
manu19 ha scritto:Ah davvero? Allora ho costantemente sbagliato approccio con le matrici non quadrate parametriche, ma, forse per fortuna, mi usciva sempre il parametro corretto.
Sì, è fortuna... Unita al fatto che gli esercizi proposti sono tarati in modo da non far uscire cose "complicate".
1manu19 ha scritto:Comunque sto studiando per l'esame di modelli matematici (la mia facoltà è economia) e l'esame consiste in matrici, autovalori, autovettori, segnatura di una matrice e applicazioni lineari di matrici.
Come ho già detto altrove ad altri utenti sempre del ramo economico/finanziario, l'esame di Metodi Matematici supporrebbe che vi sia spiegata un po' di Matematica, oltre a come fare due calcoli in croce...
manu19 ha scritto:In merito all'ultimo argomento la dispensa che ha dato l'insegnante presenta solo la matrice associata e come trovare la dimensione del nucleo e dell'immagine.
Non si studia dalle dispense, ma dai libri di testo.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)