Ciao cri98,
L'integrale proposto mi pare reclami a gran voce l'applicazione del
teorema di Gauss-Green nel piano, in base al quale, sotto opportune ipotesi (che ti invito ad andare a vedere per bene sul tuo libro di testo e comunque nel caso in esame sono verificate) si ha:
$\oint_{del^+ D} A(x,y)\text{d}x + B(x,y)\text{d}y = \int\int_D ((delB)/(delx) - (delA)/(dely)) \text{d}x \text{d}y $
ove nel caso in esame $ del^+ D $ non è altro che l'equazione dell'ellisse $ x^2/4+y^2/9=1 $, $A(x, y) = - 9yx^2 $, $ B(x, y) = 4xy^2 $ e $D = {(x,y) \in \RR^2 : x^2/4+y^2/9 <= 1} $, per cui si ha:
$\oint_{del^+ D} -9yx^2\text{d}x + 4xy^2\text{d}y = \int\int_D (4y^2 + 9x^2) \text{d}x \text{d}y $
Passando alle
coordinate ellittiche
${ ( x=a\rho cos\theta ),( y=b\rho \sin\theta ):} $
ove nel caso in esame $a = 1/3 $ e $b = 1/2 $ e quindi $|J| = ab\rho = 1/6 \rho $, si ha:
$ \int\int_D (4y^2 + 9x^2) \text{d}x \text{d}y = \int_0^{2\pi} \text{d}\theta \int_0^6 \rho^2 \cdot 1/6 \rho \text{d}\rho = 2\pi \cdot 1/6 \cdot [\rho^4/4]_0^6 = \pi 6^3/2 = 108\pi $
Pertanto la risposta corretta è la [3].
Dai un'occhiata anche
qui.