[Cinematica]Teorema sui moti centrali

Messaggioda caffeinaplus » 15/07/2019, 18:58

Salve,
il libro dà questa affermazione

Ogni moto centrale è necessariamente piano


Edit: Sostanzialmente un moto centrale è un moto che ha accelerazione sempre rivolta verso un certo punto $O$ che è detto centro del moto

Solo che io non ne capisco la dimostrazione!

Lui procede considerando il piano osculatore contente il punto $O$ dove sono orientate tutte le accelerazioni e il vettore velocità $v(t)$ nell'istante considerato.
Detto questo lui afferma che il piano allora in quell'istante conterrà anche la velocità relativa all'istante successivo, quindi $v(t+dt)$, che mi sembra ragionevolmente vero.
Poi afferma che

A partire da questo istante si ragiona allo stesso modo; e si è così tratti a concludere che il piano considerato contiene la velocità relativa ad un istante qualsiasi, e quindi tutta intera la traiettoria del moto



Che mi sembra un po una fesseria, basti pensare a una traiettoria sferica con accelerazione solo centripeta!

Poi dopo qualche altra considerazione da una dimostrazione analitica dicendo che

se $P$ è il punto dove si trova il corpo, $O$ il centro del moto e $v$ la velocità del corpo sappiamo che

$(P-O) \wedge v = c$
Supponendo $c!=0$ e sapendo che è ortogonale a entrambi quei vettori si conclude che

$c * (P-O) = 0$

di qui risulta che $P-O$ è costantemente perpendicolare a $c$, quindi il punto mobile $P$ giace sempre nel piano normale a $c$ condotto per $O$.

Che in un primo momento mi sembra più accettabile, ma poi tornando all'esempio del moto su una sfera mi pare non riesca a funzionare!

Qualcuno può aiutarmi a capire questo fatto? :?
Ultima modifica di caffeinaplus il 15/07/2019, 21:28, modificato 1 volta in totale.
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Re: [Cinematica]Teorema sui moti centrali

Messaggioda Shackle » 15/07/2019, 21:13

Io vorrei piuttosto capire che cosa intende il tuo libro per "moto centrale" , perché il punto di partenza è questo .
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Re: [Cinematica]Teorema sui moti centrali

Messaggioda caffeinaplus » 15/07/2019, 21:27

Ah chiedo scusa, pensavo fosse una definizione abbastanza comune.
Sostanzialmente un moto centrale è un moto che ha accelerazione sempre rivolta verso un certo punto $O$ che è detto centro del moto
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Re: [Cinematica]Teorema sui moti centrali

Messaggioda Shackle » 15/07/2019, 22:34

caffeinaplus ha scritto:Sostanzialmente un moto centrale è un moto che ha accelerazione sempre rivolta verso un certo punto $ O $ che è detto centro del moto


Non devi scusarti, ho chiesto solo perchè con le definizioni dei libri non si sa mai ... :-D Avevo intuito che fosse questa la definizione, poiché non ce ne sono di molto diverse...ma allora la cosa, da un punto di vista dinamico, è semplice. Se l'accelerazione è rivolta costantemente verso un polo $O$ , anche la forza agente sul punto materiale, che è data da : $ vecF = mveca$ , è rivolta sempre verso quel polo. Quindi, a mio avviso più correttamente, si deve dire che il moto avviene sotto l'azione di una forza centrale. E quando questo succede, il momento di questa forza rispetto al polo è nullo, e tale rimane: esempio tipico, il moto dei pianeti . Perciò , il vettore momento angolare del corpo, calcolato rispetto allo stesso polo, rimane costante :

$vecL = vecr times vecp = "cost" $

allora , il fatto che il vettore momento angolare rimane costante ha come conseguenza che il piano ad esso perpendicolare , contenente $vecr$ e $vecv$ , rimane costante . Quindi l'orbita è piana , come precisato qui :

https://it.wikipedia.org/wiki/Forza_centrale

e per me, tutti quegli arzigogolamenti sui vettori velocità sono inutili. Voglio dire, il concetto è semplice da un punto di vista dinamico, ma se ci si vuole limitare alla cinematica mi sembra che il procedimento sia abbastanza brigoso.

Piuttosto , spiegami che cosa vuoi dire tu con questo :

Che mi sembra un po una fesseria, basti pensare a una traiettoria sferica con accelerazione solo centripeta!
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Re: [Cinematica]Teorema sui moti centrali

Messaggioda professorkappa » 15/07/2019, 23:35

Il ragionamento della sfera ti trae in inganno. Il moto centrale su una sfera avviene in un piano! Quello del meridiano. Se ti sposti su un altro meridiano il moto non è più centrale, il corpo deve avere avuto, a un certo punto, una accelerazione non parallela al piano contenente il meridiano per spostarsi, e quindi non diretta verso il centro della sfera
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Re: [Cinematica]Teorema sui moti centrali

Messaggioda professorkappa » 15/07/2019, 23:38

Ovviamente anche un moto su un parallelo è centrale, ma il polo non è in questo caso il centro della sfera
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Re: [Cinematica]Teorema sui moti centrali

Messaggioda caffeinaplus » 16/07/2019, 07:58

@Shackle: spiegata così è decisamente più semplice.
Scusa se dirò ovvietà ma voglio essere certo di aver capito il ragionamento: in pratica dato che il prodotto vettoriale tra il braccio e la velocità è sempre costante, il prodotto è sempre lo stesso vettore anche se poi traslato in base agli spostamenti del punto.
Dato che il vettore prodotto è sempre lo stesso, il piano a esso ortogonale è sempre lo stesso e quindi se la velocità del vettore che la posizione giacciono sempre nello stesso piano di conseguenza il moto è piano!
Da un punto di vista della Dinamica in pratica non c'è niente che lo solleva dal piano, dato che la Forza applicata è piana e il momento nullo.

@Shackle, professorkappa: io avevo pensato a un moto del tipo, in coordinate polari
$rho = ( rcos(omega*t),rsin(omega*t),rsin(phi*t))$

$omega$ angolo nel piano $Oxy$
$phi$ angolo tra il braccio e l'asse $z$

Però mi sto rendendo conto che non è un moto centrale, quindi l'esempio della sfera non funziona :-D
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Re: [Cinematica]Teorema sui moti centrali

Messaggioda Shackle » 16/07/2019, 12:01

Si, più o meno hai capito il concetto , ma questa idea :

il prodotto è sempre lo stesso vettore anche se poi traslato in base agli spostamenti del punto.


non è corretta . Non devi traslare il vettore momento angolare, che non sta sulla testa del punto materiale :D !
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Re: [Cinematica]Teorema sui moti centrali

Messaggioda caffeinaplus » 16/07/2019, 12:47

Cavolo hai ragione, il polo è $O$ ed è fisso :-D

Esattamente perché ho "più o meno" capito il concetto e non pienamente?
Cosa mi sfugge?
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Re: [Cinematica]Teorema sui moti centrali

Messaggioda Shackle » 16/07/2019, 16:27

Fai attenzione, il vettore momento angolare $vecL$ è un vettore libero, non un vettore applicato. Non sei obbligato ad applicarlo nel polo $O$ ! È solo per comodità di rappresentazione che lo metti con l’origine in O .
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