Varietà algebrica finita

Messaggioda jinsang » 14/07/2019, 16:30

Sia $K$ campo algebricamente chiuso.
$A=k[x_1,...,x_n]$ anello.
$I\subsetA$ ideale.
Supponiamo che la varietà associata $\mathbb{V}(I)$ sia finita.
Voglio dimostrare che allora \(A/I\) come anello è isomorfo a una somma diretta finita di campi.

Per un risultato precedente so che \(A/I\) come $K$-spazio vettoriale ha dimensione finita.
La mia domanda è: basta questo per concludere che è isomorfo a una somma diretta di campi come anello?
Io pensavo di no ma il mio libro di testo non spende molte parole in proposito...
Qualcuno può darmi una mano?
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Re: Varietà algebrica finita

Messaggioda caulacau » 14/07/2019, 22:00

"Finita" significa "fatta da un numero finito di punti"? Se sì, stai dicendo che $V(I)$ è \(\bigcup V(P_i)\), cioè è un'unione di punti chiusi che corrispondono a massimali di $A$; adesso, \(A/I\) è un prodotto di campi perché ciascun $I(P_i)$ è massimale, e per il teorema cinese dei resti.
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Re: Varietà algebrica finita

Messaggioda jinsang » 15/07/2019, 00:20

Ciao caulacau, intanto grazie per la risposta.

caulacau ha scritto:"Finita" significa "fatta da un numero finito di punti"?

Sì.

Però non mi torna quanto dici dopo.
Cioè il tuo discorso mi tornerebbe se, partendo da $V=P_1\uu...\uuP_s$ (i $P_i$ sono punti), stessi studiando l'anello \(A/\mathbb{I}(V)\).
Allora \(\mathbb{I}(V)=\mathbb{I}(\bigcup P_i)=\bigcap \mathbb{I}(P_i)\) dove ogni \(\mathbb{I}(P_i)\) è massimale.
Quindi in questo caso \(A/\mathbb{I}(V)=A/\bigcap \mathbb{I}(P_i)\) e per t.c.r. è quindi isomorfo a \(\bigoplus A/\mathbb{I}(P_i)\) che per come sono fatti questi massimali sarà proprio isomorfo a $K^s$.

Tuttavia la mia situazione è diversa.
Io parto da $I\subsetA$ ideale, da cui costruisco $mathbb{V}(I)$ che suppongo finita, e voglio determinare la struttura di anello di \(A/I\) (non di \(A/\mathbb{I}(\mathbb{V}(I))=A/\sqrt{I}\) che è il problema sopra).

Faccio un esempio per chiarire il mio problema:
$A=\mathbb{C}[x,y]$
$I=(x^2,y)$
Ottengo che $mathbb{V}(I)={(0,0)}$, ma $I$ non è massimale né scrivibile come intersezione finita di massimali, quindi non vale il ragionamento di sopra.
Si vede abbastanza facilmente che \(A/I \simeq \mathbb{C}^2 \) come C-spazio vettoriale
(Ad esempio con base \({\overline{1},\overline{x}}\))
Ma che struttura ha questo quoziente come anello?
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Re: Varietà algebrica finita

Messaggioda jinsang » 15/07/2019, 10:19

jinsang ha scritto:Faccio un esempio per chiarire il mio problema:
$A=C[x,y]$
$I=(x^2,y)$
Ottengo che $V(I)={(0,0)}$, ma I non è massimale né scrivibile come intersezione finita di massimali, quindi non vale il ragionamento di sopra.
Si vede abbastanza facilmente che \(A/I≃\mathbb{C}^2\) come C-spazio vettoriale
(Ad esempio con base $overline{1}, overline{x}$)
Ma che struttura ha questo quoziente come anello?


In effetti \(A/I\) come anello non può essere somma diretta di campi, perché ha un nilpotente non banale, $overline{x}$.
Quindi evidentemente questo:
jinsang ha scritto:Voglio dimostrare che allora \(A/I\) come anello è isomorfo a una somma diretta finita di campi.
è falso.
Ci sarà un errore nel testo.
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Messaggioda j18eos » 16/07/2019, 12:45

Attenzione: normalmente per varietà si intende uno schema ridotto \(\displaystyle+\) "altro"; quindi, limitandoci alle varietà affini, l'ideale \(\displaystyle I\) associato a una varietà \(\displaystyle V\) sarà privo di elementi nilpotenti, per cui (memoria mia non mi tradire) \(\displaystyle\sqrt{I}=I\). Applicando il teorema Cinese del Resto si conclude.
Ultima modifica di j18eos il 16/07/2019, 14:50, modificato 1 volta in totale.
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Re: Varietà algebrica finita

Messaggioda caulacau » 16/07/2019, 12:57

Credo che un problema sia fare confusione tra costruzioni universali in categorie diverse:

nei gruppi abeliani, ci sono biprodotti (perché una categoria di moduli è sempre abeliana).

la categoria degli anelli però non lo è (per esempio perché non è bilanciata: ci sono epi-mono che non sono iso, ad esempio l'inclusione di un anello integro nel suo campo delle frazioni); e non ha nemmeno biprodotti, perché il prodotto di due anelli è l'anello che ha come carrier $R\times S$, e dove il prodotto è definito sulle componenti; ma il coprodotto è il prodotto tensore di \(\mathbb Z\)-moduli (gli anelli sono esattamente le \(\mathbb Z\)-algebre unitarie interne a \(\text{Mod}(\mathbb Z)\)). E' ora piuttosto facile dimostrare che il prodotto di anelli non è isomorfo al coprodotto: per esempio fissa due numeri primi diversi $p,q$; allora
\[
\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/q\mathbb{Z}\not\cong
\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \otimes \mathbb{Z}/q\mathbb{Z}
\]
(LHS ha $pq$ elementi, ma RHS ne ha... uno!).

Bisogna che ci intendiamo bene su cosa vorresti dimostrare, perciò, perché la domanda
basta questo per concludere che è isomorfo a una somma diretta di campi come anello?

non è chiara.
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Re: Varietà algebrica finita

Messaggioda jinsang » 16/07/2019, 14:26

j18eos ha scritto:Attenzione: normalmente per varietà si intende uno schema ridotto \( \displaystyle+ \) "altro".

Non conosco la definizione di schema, il corso che ho seguito è un corso di algebra, non di geometria algebrica.
Abbiamo solo toccato alcuni risultati basilari legati alla geometria algebrica (credo).

Cioè partendo da \(A=K[x_1,...,x_n]\) e \(S \subset A\) sottoinsieme abbiamo definito $mathbb{V}(S)={\alpha \in K^n | f(\alpha)=0 \ \ \forall f \in S }$
Poi abbiamo visto che $mathbb{V}(S)=mathbb{V}((S))$ e che quindi potevamo costruire le nostre varietà a partire da ideali.
Dunque ci siamo chiesti se fosse possibile invece partendo da una varietà associarvi un ideale.
Allora abbiamo definito $mathbb{I}(V)={f \in A | f(\alpha)=0 \ \ \forall \alpha \in V}$.
Abbiamo lavorato un po' con queste definizioni, deducendo varie proprietà che non sto a elencare.
Poi abbiamo enunciato e dimostrato il Nullstellensatz nelle due forme, la forma forte è in effetti quella che richiami qui:
j18eos ha scritto:limitandoci alle varietà affini, l'ideale \( \displaystyle I \) associato a una varietà \( \displaystyle V \) sarà privo di elementi nilpotenti, per (memoria mia non mi tradire) \( \displaystyle\sqrt{I}=I \).

Cioè, con le mie notazioni, stai dicendo $mathbb{I}(mathbb{V}(I))=sqrt(I)$ (cosa che vale per $K$ alg. chiuso).

Dunque con le definizioni di sopra, vorrei risolvere il seguente esercizio:
jinsang ha scritto:Sia $ K $ campo algebricamente chiuso.
$ A=k[x_1,...,x_n] $ anello.
$ I\subsetA $ ideale.
Supponiamo che la varietà associata $ \mathbb{V}(I) $ sia finita.
Voglio dimostrare che allora \( A/I \) come anello è isomorfo a una somma diretta finita di campi.


Ci tengo a precisare: nell'esercizio sto considerando \( A/I \) e NON \( A/\mathbb{I}(\mathbb{V}(I))=A/\sqrt{I} \), come già ho detto nel mio primo messaggio di risposta a caulacau.
jinsang ha scritto:Ciao caulacau, intanto grazie per la risposta.

caulacau ha scritto:"Finita" significa "fatta da un numero finito di punti"?

Sì.

Però non mi torna quanto dici dopo.
Cioè il tuo discorso mi tornerebbe se, partendo da $ V=P_1\uu...\uuP_s $ (i $ P_i $ sono punti), stessi studiando l'anello \( A/\mathbb{I}(V) \).
Allora \( \mathbb{I}(V)=\mathbb{I}(\bigcup P_i)=\bigcap \mathbb{I}(P_i) \) dove ogni \( \mathbb{I}(P_i) \) è massimale.
Quindi in questo caso \( A/\mathbb{I}(V)=A/\bigcap \mathbb{I}(P_i) \) e per t.c.r. è quindi isomorfo a \( \bigoplus A/\mathbb{I}(P_i) \) che per come sono fatti questi massimali sarà proprio isomorfo a $ K^s $.

Tuttavia la mia situazione è diversa.
Io parto da $ I\subsetA $ ideale, da cui costruisco $ mathbb{V}(I) $ che suppongo finita, e voglio determinare la struttura di anello di \( A/I \) (non di \( A/\mathbb{I}(\mathbb{V}(I))=A/\sqrt{I} \) che è il problema sopra).

Faccio un esempio per chiarire il mio problema:
$ A=\mathbb{C}[x,y] $
$ I=(x^2,y) $
Ottengo che $ mathbb{V}(I)={(0,0)} $, ma $ I $ non è massimale né scrivibile come intersezione finita di massimali, quindi non vale il ragionamento di sopra.
Si vede abbastanza facilmente che \( A/I \simeq \mathbb{C}^2 \) come C-spazio vettoriale
(Ad esempio con base \( {\overline{1},\overline{x}} \))
Ma che struttura ha questo quoziente come anello?

E infine ho concluso che, in generale, non è vero che \(A/I\) è somma diretta di campi.

Scusate la mia ignoranza, io spero che questo esercizio si possa risolvere con strumenti che conosco, e spero di non aver detto un sacco di stupidaggini.
Vi ringrazio per l'aiuto.
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Re: Varietà algebrica finita

Messaggioda Martino » 16/07/2019, 14:37

Un esempio ancora più facile: $I=(X^2)$ ideale di $k[X]$. Ovviamente $V(I)={0}$ è finito. Ma $k[X]//I$ non è somma diretta di campi (non è ridotto).

Quando dici che il libro non spende molte parole in proposito, a che libro ti riferisci? Che parole spende esattamente?
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Re: Varietà algebrica finita

Messaggioda jinsang » 16/07/2019, 15:00

Martino ha scritto:Un esempio ancora più facile: $ I=(X^2) $ ideale di $ k[X] $. Ovviamente $ V(I)={0} $ è finito. Ma $ k[X]//I $ non è somma diretta di campi (non è ridotto).

Quando dici che il libro non spende molte parole in proposito, a che libro ti riferisci? Che parole spende esattamente?


Il libro a cui mi riferisco lo ha scritto il professore titolare del corso, per ora lo ha reso disponibile in pdf a noi studenti perché deve ancora uscire in versione cartacea, e ci ha avvertiti che non è la stesura finale e potevano essere presenti degli errori.

Relativamente a questo esercizio, lui fa solo il caso in cui I è radicale (con Nullstellensatz+TCR), a questo punto io credo si sia semplicemente dimenticato di mettere quest'ipotesi.
Dice poi altre cose sull'anello \(A/I\) che non richiedono che $I$ sia radicale, ad esempio che è un $K$-sp. vett. di dimensione finita, e che ha dimensione di Krull 0.
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Messaggioda j18eos » 18/07/2019, 17:42

jinsang ha scritto:[...]
j18eos ha scritto:limitandoci alle varietà affini, l'ideale \( \displaystyle I \) associato a una varietà \( \displaystyle V \) sarà privo di elementi nilpotenti, per (memoria mia non mi tradire) \( \displaystyle\sqrt{I}=I \).
Cioè, con le mie notazioni, stai dicendo $mathbb{I}(mathbb{V}(I))=sqrt(I)$ (cosa che vale per $K$ alg. chiuso)[...]
No, stavo proprio affermando l'ipotesi seguente:
\[
x\in I,\exists n\in\mathbb{N}_{\geq1}\mid x^n=0\Rightarrow x=0
\]
(l'ideale \(\displaystyle I\) sia privo di elementi nilpotenti).

L'essere \(\displaystyle I=\sqrt{I}\) non è equivalente all'assenza di elementi nilpotenti in \(\displaystyle I\); ma è equivalente all'assenza di elementi nilpotenti nell'anello delle funzioni regolari di \(\displaystyle V(I)\), che è una delle proprietà caratterizzanti le varietà (algebriche) affini.
Ipocrisìa e omofobìa,
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