Energia contenuta in un cilindro, come si calcola? Esercizio di Fisica 2

[RenzoDF]

Typos a parte, non confondere $r$ con $R$.

... e sarebbe utile anche vedere a cosa porta quell'integrale.

[Ema6798]

Typos a parte, non confondere $r$ con $R$.

... e sarebbe utile anche vedere a cosa porta quell'integrale.

Suppongo ti riferisci al fatto che ho calcolato $tau=piR^2$, invece avrei dovuto calcolarlo come $tau=pir^2$ che diventa quindi: $(d\tau)/(dr)=2pir rArr d\tau=2pi\rdr$ in quando pensandoci bene io calcolo questo volume infinitesimo e poi integro tra gli estremi $0$ ed $R=b$ dunque R è il mio estremo di integrazione, ma non devo inserire all'interno dell'integrale il valore finito del volume del mio cilindro.
Mi capita spesso di confondermi con queste cose.
Scusami ma non capisco cosa intendi con "Typos a parte"

[RenzoDF]

... Scusami ma non capisco cosa intendi con "Typos a parte"

Errori di battitura, per esempio una inesistente circuitazione nel penultimo integrale, un $\mu_0$ dello stesso che magicamente si trasforma in un $\pi r$ nell'ultimo integrale ... e ovviamente, quella "strana" derivata.

...
$oint_(tau) B^2/(2mu_0)d\tau$ essendo $tau$ il volume del mio cilindro di lunghezza unitaria, cioè: $tau=piR^2 rArr (d\tau)/(dr)=2piR rArr d\tau=2piRdr$, quindi il mio integrale diventa:
$int_(a)^(R=b) B^2/(2pir)*2piR\ dr $, ...

[Ema6798]

Ammetto che erano presenti diversi errori di battitura, mi distraggo facilmente! ahaha
Comunque vorrei chiederti circa un'esercizio simile a questo che però presentava una piccola differenza, il conduttore era un cilindro pieno, invece l'area dove devo calcolare il campo magnetico era un cilindro cavo con $R/2<r<2R$, in pratica si invertiva la geometria del problema, io ho supposto che la risoluzione sia del tutto analoga a quanto visto finora ma è evidente che qualche differenza ci sarà.
Ad esempio ho pensato di applicare anche in questo caso la legge di Ampère e calcolarmi la corrente concatenata come fatto prima, integrando cioè la densità tra gli estremi $0$ ed $R$, una volta trovata l'espressione del campo magnetico attraverso la legge di Ampère l'unica differenza saranno gli estremi di integrazione dell'energia magnetica? Dovrò quindi integrare tra $R/2$ e $2R$? O vi sono altre differenze da tenere d'occhio?

P.S: Gli errori di battitura contenuti nel messaggio con la soluzione dovrebbero essere sistemati.

[RenzoDF]

Forse intendi dire che il volume nel quale devi determinare l'energia magnetica ha la geometria di un cilindro cavo, parzialmente interno e parzialmente esterno al conduttore, esatto?

[RenzoDF]

... Dovrò quindi integrare tra $R/2$ e $2R$? O vi sono altre differenze da tenere d'occhio?

Devi considerare che l'integrale lo dovrai calcolare per la parte interna e per la parte esterna separatamente, visto che B(r) interna è direttamente proporzionale ad r mentre quella esterna inversamente; di conseguenza da R/2 a R per il primo e da R a 2R per il secondo.

[Ema6798]

Caspita hai ragione, non ci avevo pensato.
Nel caso in cui volessi proporre una soluzione posso farlo qui o devo aprire un'altro topic? Tutto sommato l'esercizio è quasi lo stesso.

[RenzoDF]

Fallo qui; è una variante al tema.

[Ema6798]

<<Un conduttore cilindrico di raggio $R$ è percorso da una corrente con densità di corrente $J$ non uniforme $J(r)=4r A/m^2$.
Calcolare l'energia per unità di lunghezza immagazzinata nel campo magnetico all'interno del guscio cilindrico coassiale con raggio $R/2<r<2R$>>

Propongo dunque il mio svolgimento:

Come sappiamo l'energia magnetica si esprime come: $int_(tau) (B^2)/(2mu_0) d\tau$

A questo punto, come mi è stato suggerito, presto attenzione al fatto che il campo magnetico nella regione ove voglio calcolare l'energia magnetica non ha la stessa espressione: in particolar modo nella zona compresa tra $0$ ed $R$, cioè la zona interna al cilindro conduttore, il campo magnetico ha un'espressione che è direttamente proporzionale al generico raggio r considerato; invece all'esterno dello stesso cilindro conduttore il campo magnetico sarà inversamente proporzionale al generico raggio r.
Fatte queste dovute considerazioni preliminari procediamo al calcolo del campo magnetico:

All'esterno del cilindro avremo che il campo magnetico obbedisce alla legge di Biot-Savart, esso non dipenderà in alcun modo dal raggio del conduttore ma solo dalla distanza $r$ di un generico punto dall'asse del cilindro, per la legge di Ampère avremo:

$B(r)_(esterno)= (mu_0*i)/(2pir)$ 1

la corrente $i$ sarà dunque quella che circola all'interno del cilindro che possiamo calcolare come segue:

$i=int_(0)^(R) J(r)*2pir\ dr = int_(0)^(R) 4*r*2pir\ dr= 8/3piR^3$ 2

Sostituendo l'espressione 2 nella formula 1 otteniamo:

$B(r)_(esterno)=(4*mu_0*R^3)/(3*r)$ da cui: $B(r)_(esterno)^2=(16*mu_0^2*R^6)/(9*r^2)$

A questo punto procediamo calcolando l'espressione del campo magnetico all'interno del cilindro, applichiamo la legge di Ampère:

La corrente concatenata, fissato un generico $r$ tale che: $0<r<R$ è:

$i_c=int_(0)^(r) J(r)*2pir\ dr = int_(0)^(r) 4*r*2pir\ dr = 8/3pir^3$ 3

Possiamo sostituire 3 nella 1 (essendo la 1 ricavata dalla legge di Ampère) ottenendo:

$B(r)_(i\n\terno)=(4*mu_0*r^2)/3$ da cui: $B(r)_(\i\n\terno)^2=(16*mu_0^2*r^4)/9$

Possiamo quindi procedere a calcolare l'energia magnetica:

considerato il volume del cilindro: $tau=pir^2l rArr (d\tau)/dr=2pirl rArr 2pirl\dr$

$U_m=int_(R/2)^(2R) B^2/(2*mu_0) 2pirl \dr = int_(R/2)^(R) B_(\i\n\terno)^2/(2*mu_0) 2pirl \dr + int_(R)^(2R) B_(esterno)^2/(2*mu_0) 2pirl \dr$

L'integrale dovrebbe essere abbastanza semplice, a me ha dato il seguente risultato:
$(16*mu_0*pi*l)/9[1/6(R^6-(R^6/64))+R^6*ln(2)]$ da prendersi con le pinze visto che l'ho svolto un po' di fretta

[RenzoDF]

... presto attenzione al fatto che il campo magnetico nella regione ove voglio calcolare l'energia magnetica non ha la stessa espressione: in particolar modo nella zona compresa tra $0$ ed $R$, cioè la zona interna al cilindro conduttore, il campo magnetico ha un'espressione che è direttamente proporzionale al generico raggio r considerato; ...

Quanto scrivi, valeva per il precedente problema, non per questo, nel quale la densità di corrente non è più uniforme. ... e ne hai conferma dal successivo calcolo del campo interno che, a causa della non uniformità della densità volumetrica $j(r)$¹, risulta proporzionale a $r^2$.

Relativamente alla riga per la determinazione di $U_m$, il primo integrale rimane di volume.

Per quanto riguarda l'integrale finale, a occhio, direi che quel $64$ corrispondente a $2^6$ vada a numeratore e mi sembra anche che tu abbia invertito i termini della relativa differenza. ... $R^6$ puoi raccoglierlo.

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Note

1. Direttamente proporzionale a $r$. ↑