Parametrizzare un paraboloide

Messaggioda matos » 16/07/2019, 08:44

Ciao a tutti, sono alle prese con il tentare di parametrizzare questo paraboloide (o almeno quel che sembra esserlo a me).

Vorrei chiedervi due cosette: 1) dove sbaglio nel mio metodo, perché non capisco l'errore, 2) se gentilmente mi potreste mostrare la via corretta di farlo.
in ogni caso grazie mille davvero.

Ho:
$z=-ax^2-by^2, a>=b>0$

La mia idea è stata:
$-z=ax^2+by^2$
Dunque:

$X=\sqrt(1/a)cos\theta$
$Y=\sqrt(1/b)sin\theta$
$Z=-\sqrt(1/a)cos\theta-\sqrt(1/b)sin\theta$

cioè per $ax^2+by^2$ ho scritto l'ellisse: $(\sqrt(1/a)cos\theta,\sqrt(1/b)sin\theta)$ e sostituito per ottenere z. Ma perché è sbagliato?
Ultima modifica di matos il 16/07/2019, 13:28, modificato 1 volta in totale.
matos
New Member
New Member
 
Messaggio: 46 di 53
Iscritto il: 08/11/2018, 19:55

Re: Parametrizzare un paraboloide

Messaggioda pilloeffe » 16/07/2019, 11:46

Ciao matos,

Stai facendo un po' di confusione con le variabili: se hai $x$ poi non puoi parametrizzare con $cosx $... :wink:

Supponendo che sia $a > 0 $ e $b > 0 $, $z = f(x,y) = - ax^2 - by^2 $ è una funzione pari avente dominio $D = \RR^2 $ e codominio $C = (-\infty, 0] $: si tratta di un paraboloide ellittico avente massimo $z = 0 $ nel punto $O(0, 0) $. Dato poi che hai $x >= y > 0 $, significa che siamo nell'ottante caratterizzato da $ x > 0 $, $y > 0 $ e $z <= 0 $: prova a farti un disegno della situazione.
Tutto quanto sopra premesso, la prima parametrizzazione che mi viene in mente è quella che fa uso delle coordinate cilindriche (cilindro ellittico).
pilloeffe
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 2960 di 3040
Iscritto il: 07/02/2017, 16:45
Località: La Maddalena - Modena

Re: Parametrizzare un paraboloide

Messaggioda matos » 16/07/2019, 13:30

Guarda devi scusarmi ma ho sbagliato a scrivere con le formule qui e mi sono confuso ma sulla carta erano riportate come ho scritto adesso (ho editato il precedente) se avessi voglia di riguardare.

Devi proprio scusarmi :)
anche le condizioni sono su a e b non su x,y. Non so davvero cosa avessi visto. Diciamo che il pasticcio esce sulle Z perché non posso raccogliere a causa dei coefficienti e credo sia anche sbagliata scritta così. Ma non capisco come diventerebbe in tale parametrizzazione. Vorrei capire questo errore prima di provare le cilindriche, perché devo sbagliare proprio concettualmente

grazie per il tuo intervento
matos
New Member
New Member
 
Messaggio: 47 di 53
Iscritto il: 08/11/2018, 19:55

Re: Parametrizzare un paraboloide

Messaggioda pilloeffe » 16/07/2019, 14:55

matos ha scritto:grazie per il tuo intervento

Prego! :smt023

Beh, non vedo dove sia il problema, anzi con la correzione che hai operato la trasformazione in coordinate ellittiche è anche più semplice:

$\{(x = A\rho cos\theta),(y = B\rho sin\theta),(z = z):}$

ove $A = \sqrt{1/a} $, $B = \sqrt{1/b} $, $\rho >= 0 $, $0 <= \theta < 2\pi $ e $ z <= 0 $
pilloeffe
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 2961 di 3040
Iscritto il: 07/02/2017, 16:45
Località: La Maddalena - Modena

Re: Parametrizzare un paraboloide

Messaggioda matos » 16/07/2019, 16:35

Ho capito, quindi l'errore era nel cercare di sostituire X e Y in Z?

Poi avrei una seconda e ultima domanda da porti al riguardo: ma rho devo mettercelo per forza? Non capisco bene cosa mi rappresenti. Se non lo mettessi otterrei solo la superficie forse?

grazie ancora :)
matos
New Member
New Member
 
Messaggio: 48 di 53
Iscritto il: 08/11/2018, 19:55

Re: Parametrizzare un paraboloide

Messaggioda pilloeffe » 16/07/2019, 19:49

matos ha scritto:ma $\rho $ devo mettercelo per forza?

Eh beh direi, anche perché è un tantino fondamentale:

$ z = - ax^2 - by^2 = - (ax^2 + by^2) = - (\rho^2cos^2\theta + \rho^2 sin^2\theta) = - \rho^2 <= 0$
pilloeffe
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 2962 di 3040
Iscritto il: 07/02/2017, 16:45
Località: La Maddalena - Modena

Re: Parametrizzare un paraboloide

Messaggioda matos » 16/07/2019, 20:41

Ma sbaglio o è giusto che se non metto rho è come se parametrizzassi solo la superficie del paraboloide? insomma rho mi da il "volume". Scusa la domanda ma vorrei figurarmi geometricamente se ho interpretato bene :)
matos
New Member
New Member
 
Messaggio: 49 di 53
Iscritto il: 08/11/2018, 19:55

Re: Parametrizzare un paraboloide

Messaggioda pilloeffe » 16/07/2019, 23:55

matos ha scritto:Ma sbaglio o è giusto che se non metto $\rho $ è come se parametrizzassi solo la superficie del paraboloide?

Non ho capito bene cosa intendi con questa frase, ma comunque sbagli. Poi $\rho $ nelle coordinate cilindriche ellittiche ci vuole, non è che puoi scegliere se metterlo o non metterlo... :wink:
matos ha scritto:[...] vorrei figurarmi geometricamente [...]

Come ti dicevo qualche post fa, se vuoi renderti conto della situazione la cosa migliore è farti un bel disegno. Il paraboloide in questione ha vertice coincidente col punto $O(0, 0, 0) $ e per il resto sta tutto sotto il piano orizzontale di equazione $z = 0 $.
Si chiama paraboloide ellittico perché se lo si seziona con piani orizzontali di equazione $z = k < 0 $ si ottengono delle ellissi che diventano sempre più grandi man mano che ci si allontana dal vertice del paraboloide.
pilloeffe
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 2963 di 3040
Iscritto il: 07/02/2017, 16:45
Località: La Maddalena - Modena

Re: Parametrizzare un paraboloide

Messaggioda matos » 17/07/2019, 07:33

Hai ragione :) in effetti senza rho ora ho capito, parametrizzerei un cilindro!

Ma ancora un'ultima cosetta: ma secondo te è possibile parametrizzare con due soli parametri, mi accorgo infatti che per determinare il paraboloide in cartesiane bastano x e y, z è data dal legame di queste due. Vorrei, se possibile, fare la stessa cosa usando rho e theta cioè usare solo due variabili e non anche z per l'altezza (curiosità)
matos
New Member
New Member
 
Messaggio: 50 di 53
Iscritto il: 08/11/2018, 19:55

Re: Parametrizzare un paraboloide

Messaggioda pilloeffe » 17/07/2019, 09:29

matos ha scritto:in effetti senza $\rho $ ora ho capito, parametrizzerei un cilindro!

No... Senza $\rho $, significherebbe $\rho = 0 \implies x = y = 0 \implies z = 0 $ e quindi otterresti il solo punto $O(0, 0, 0) $.
matos ha scritto:secondo te è possibile parametrizzare con due soli parametri, mi accorgo infatti che per determinare il paraboloide in cartesiane bastano x e y, z è data dal legame di queste due. Vorrei, se possibile, fare la stessa cosa usando rho e theta cioè usare solo due variabili e non anche z per l'altezza (curiosità)

Questa non l'ho capita: hai già due parametri $\rho $ e $\theta $ che prendono il posto di $x $ e $y $... :wink:
pilloeffe
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 2964 di 3040
Iscritto il: 07/02/2017, 16:45
Località: La Maddalena - Modena

Prossimo

Torna a Analisi matematica di base

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 30 ospiti