Fibrazioni discrete su \({\cal B}\)

Messaggioda caulacau » 14/07/2019, 22:12

Un funtore \(G : {\cal E} \to {\cal B}\) è una fibrazione discreta se per ogni $f : B\to GE$ in \(\cal B\) esiste un'unica freccia $v : E'\to E$ tale che $Gv=f$.

Un morfismo di fibrazioni discrete tra \(G : {\cal E}\to {\cal B}\) e \(G' : {\cal E}'\to {\cal B}\) è un funtore \(H : {\cal E}\to {\cal E}'\) tale che $G'\circ H =G$.

Mostrare che questo definisce una categoria \(\text{Fib}({\cal B})\) delle fibrazioni discrete su \(\mathcal B\).

Mostrare che il funtore \(\text{src} : {\cal B}/B\to{\cal B}\), che manda una freccia $f : X\to B$ nel suo dominio $X$, è una fibrazione discreta. (definizione di \({\cal B}/B\))

Mostrare che la categoria \(\text{Fib}({\cal B})\) così definita è equivalente alla categoria dei funtori \(F : {\cal B}^\text{op}\to Set\), ovvero che:

  • esiste un funtore \(\int : [{\cal B}^\text{op}, Set]\to \text{Fib}({\cal B})\)
  • esiste un funtore \(\chi : \text{Fib}({\cal B})\to [{\cal B}^\text{op}, Set]\)
  • esistono degli isomorfismi \(\int\circ\chi\cong \text{id}_{\text{Fib}({\cal B})}\) e \(\chi\circ\int \cong \text{id}_{[{\cal B}^\text{op}, Set]}\)
Mostrare che dato \(F : {\cal B}^\text{op}\to Set\) c'è una biiezione tra l'insieme $FB$ e l'insieme di tutte le mappe di fibrazioni discrete tra la fibrazione discreta \(\text{src} : {\cal B}/B\to {\cal B}\) e \(\chi(F)\).
Ultima modifica di caulacau il 16/07/2019, 08:21, modificato 2 volte in totale.
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Re: Fibrazioni discrete su \({\cal B}\)

Messaggioda vict85 » 15/07/2019, 08:43

Sono un po' arrugginito. Solo per essere sicuro se ho capito bene: \(E, E'\in \mathrm{ob}(\mathcal{E})\), \(B\in \mathrm{ob}(\mathcal{B})\) e \(f\in \hom(\mathcal{B})\). Inoltre il nome dell'unica freccia su \(\mathcal{E}\) è \(v\) (hai usato la lettera senza definirla). Giusto?

Ora non ho tempo di mettermici, magari provo a risolverlo stasera.
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Re: Fibrazioni discrete su \({\cal B}\)

Messaggioda caulacau » 15/07/2019, 10:11

Ho corretto; sì, esatto.
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Re: Fibrazioni discrete su \({\cal B}\)

Messaggioda Indrjo Dedej » 16/07/2019, 07:01

\xymatrix{
\mathcal E \ar[dr]_G & & \mathcal E^\prime \ar[dl]^{G^\prime} \\
 & \mathcal B &
}

Forse intendevi \(H \colon \mathcal E \mapsto \mathcal E'\) se vuoi che sia \(G' \circ H = G\). Oppure è \(G \circ H = G'\)?
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Re: Fibrazioni discrete su \({\cal B}\)

Messaggioda caulacau » 16/07/2019, 08:20

Sì, non rende falso il risultato (viene solo controvariante l'equivalenza), ma non era voluto quindi correggo.
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Re: Fibrazioni discrete su \({\cal B}\)

Messaggioda Indrjo Dedej » 16/07/2019, 21:07

Bozza, quindi forse con molte sviste o peggio per la velocità con cui tutto è stato scritto... Nella versione definitiva sarà tutto visibile direttamente.
Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Per ora faccio vedere la definizione di \(\operatorname{Fib}(\cal B)\). Gli oggetti sono le fibrazioni discrete di codominio \(\cal B\) e i morfismi i funtori tra queste. Faccio vedere ora che ci sono delle composizioni, ovvero delle funzioni che mandano una coppia di funtori tra fibrazioni discrete su \(\cal B\) in uno e un solo funtore tra fibrazioni discrete su \(\cal B\) (con i funtori scelti in modo da poterli comporre, ovviamente). Se \(H\) è un morfismo da \(G \colon \cal E \mapsto \cal B\) a \(G' \colon \cal E' \mapsto \cal B\) e \(H'\) è un morfismo da \(G' \colon \cal E' \mapsto \cal B\) a \(G \colon \cal E'' \mapsto \cal B\), allora pure \(H' \circ H\) lo è: infatti \(G = G' \circ H = G'' \circ (H' \circ H)\).
\xymatrix{
\cal E \ar[dr]_G \ar[rr]^H & & \cal E^\prime \ar[dl]^{G^\prime} \ar[dd]^{H^\prime} \\
 & \cal B & \\
 & & \cal E^\prime^\prime \ar[ul]^{G^\prime^\prime}
}

E \(H' \circ H\) è anche l'unico a far commutare questo diagramma, perchè, date due fibrazioni discrete, il funtore tra di loro è unico per la definizione stessa di fibrazione discreta (dimostrazione in spoiler, a breve..., sempre se non ho preso un abbaglio :smile: ). La proprietà associativa è quella dei funtori in generale, le identità pure.
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Re: Fibrazioni discrete su \({\cal B}\)

Messaggioda caulacau » 17/07/2019, 01:19

Affinché \(\text{Fib}(\mathcal B)\) sia una categoria, non è necessario che tra ogni coppia di oggetti ci sia un solo morfismo.

Non solo queste sono categorie molto particolari (si chiamano "gruppoidi massimalmente connessi"), e perciò questa richiesta non rientra tra gli assiomi di categoria, ma è anche falso che \(\text{Fib}(\mathcal B)\) sia un tale gruppoide: in base all'ultimo teorema che vi chiedo di dimostrare, se scegli un funtore \(F : \mathcal B \to Set\) tale che \(\text{card } FX > 1\) (come puoi immaginare, ce ne sono a bizzeffe), allora ci sono esattamente \(\text{card } FX\) morfismi tra la fibrazione discreta \(\text{src} : \mathcal B/X \to \mathcal B\) e la fibrazione discreta \(\chi(F) \to \mathcal B\).

Puoi per esempio prendere come $F$ il funtore costante sull'insieme \(\{g,t,e\}\) (gatto, topo, elefante: non manca più nessuno), e divertirti a trovare esattamente tre morfismi di fibrazione discreta tra src e $\chi(F)$ (e già che ci sei... chi è $\chi(F)$ quando $F$ è un funtore costante?).

C'è poi una nota terminologica: tu scrivi $f : A \mapsto B$; questo è sintatticamente sbagliato, perché l'uso che è comune praticamente a tutti è di usare, invece, $\to$; il simbolo infisso \(\mapsto\), invece, è riservato ad indicare la regola che, fissato $f : A \to B$, manda $a : A$ in $fa : B$.
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Re: Fibrazioni discrete su \({\cal B}\)

Messaggioda Indrjo Dedej » 17/07/2019, 09:38

Pensavo di far vedere che ci sono delle composizioni, che sono delle funzioni, quindi una coppia di morfismi viene mandata in uno e un solo morfismo. Mmmmh... a me sembrava che in questo caso specifico il morfismo tra due oggetti è unico. Dopo controllo... (Dove sono ora non riesco a trovare mezzo foglio, come è possibile?)
Il resto appena posso lo risolvo con calma.

La nota terminologica non l'ho capita. Il codice LaTeX che sta sotto è \mapsto, per questo uso quel simbolo.
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Re: Fibrazioni discrete su \({\cal B}\)

Messaggioda caulacau » 17/07/2019, 10:02

date due fibrazioni discrete, il funtore tra di loro è unico per la definizione stessa di fibrazione discreta

Questo è falso e ti ho spiegato perché (sebbene con un argomento ex post, ma certamente saprai trovare i tre morfismi che intendo). Da ciò è naturale dedurre che c'è un solo morfismo in ogni hom-set tra due fibrazioni.

La nota terminologica è questa: $f : A \to B$ significa "c'è un morfismo tra $A$ e $B$" (formalmente: $\to$ è il costruttore del tipo "morfismo" mor : obj -> obj -> Type; $a \mapsto fa$ significa "$a$ viene mandato in $fa$ da $f$" (formalmente... è difficile scriverlo). Sono segnature diverse, significati diversi.
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Re: Fibrazioni discrete su \({\cal B}\)

Messaggioda caulacau » 25/07/2019, 22:21

Beh? :)
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