Equazione numeri complessi

Messaggioda HowardRoark » 18/07/2019, 09:53

Non riesco a capire una spiegazione relativa alla risoluzione di quest'equazione complessa: $z^2 = i|z-1|$

Il prof che spiega la risoluzione pone $z^2= lamda i$, quindi $z^2$ si trova sull'asse immaginario. Poi estrae la radice e ottiene $z=\mu (1+i)$, perché $z^2$ si trova sull'asse immaginario, pertanto $z$ deve trovarsi sulla bisettrice del primo e del terzo quadrante. Dopodiché pone $z= 1+\mu i$, e qui non capisco: affinché $z$ abbia la direzione che abbiamo dedotto $\mu$ deve essere necessariamente uguale a $1$, quindi non riesco a capire da dove derivi l'ultima uguaglianza.

C'è qualcosa di sbagliato nel mio ragionamento?

Vi ringrazio in anticipo.
HowardRoark
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Re: Equazione numeri complessi

Messaggioda pilloeffe » 18/07/2019, 10:20

Ciao HowardRoark,

Direi che è il contrario: siccome $|z - 1| $ è un numero reale, moltiplicandolo per $i $ si ottiene un numero complesso immaginario puro, quindi anche $z^2 $ deve essere un numero complesso immaginario puro e pertanto si può scrivere $z^2 = \lambda i $ ove $\lambda $ è un numero reale.
Dunque si ha:

$ z_{1,2} = \pm \sqrt{\lambda} \sqrt{2}/2 (1 + i) = \pm \sqrt{2\lambda}/2 (1 + i) = \mu (1 + i) $

ove $\mu = \pm \sqrt{2\lambda}/2 $
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Re: Equazione numeri complessi

Messaggioda HowardRoark » 18/07/2019, 10:39

Non riesco a capire la tua formula per trovare le radici di $z^2$. Partendo da $z^2 - lamdai= 0$ non dovrebbe essere $z_(1,2) = (+- sqrt(4lamdai))/2 => z_(1,2) = +- sqrt(lamdai)$?
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Re: Equazione numeri complessi

Messaggioda pilloeffe » 18/07/2019, 11:22

No... Facciamola più semplice, tanto $\lambda $ è reale: qual è la soluzione dell'equazione $z^2 = i $?

$z_{1,2} = \pm sqrt{i} = \pm sqrt{2}/2 sqrt{2i} = \pm sqrt{2}/2 sqrt{1 + 2i + i^2} = \pm sqrt{2}/2 sqrt{(1 + i)^2} = \pm sqrt{2}/2 (1 + i) $
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Re: Equazione numeri complessi

Messaggioda HowardRoark » 18/07/2019, 11:33

pilloeffe ha scritto:$ +- sqrt{2}/2 sqrt{2i} = +- sqrt{2}/2 sqrt{1 + 2i + i^2}$


Scusa ma continuo a non capire...quindi $sqrt(2i) = sqrt(1+2i+i^2)$?
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Re: Equazione numeri complessi

Messaggioda pilloeffe » 18/07/2019, 11:38

Beh, visto che $i^2 = - 1 $... :wink:
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Re: Equazione numeri complessi

Messaggioda HowardRoark » 18/07/2019, 12:02

Chiaro. Però avrei due domande:

1) Perché la mia risoluzione, cioè $z_(1,2) = +- sqrt(lamdai)$ è errata? Per ricavarla sono partito dalla formula $x_(1,2)= (-b +- sqrt(b^2 - 4ac))/(2a)$

2) Con la tua risoluzione hai dedotto qualcosa che io avevo già intuito: cioè che $z$ avrà una forma del tipo $z = \mu (1+i)$, perché l'argomento di quest'ultimo deve essere $pi/4$ oppure $5pi/4$.
Però non riesco ancora a capire come si giustifica il fatto che poi il prof pone $z = 1 + \mu i$, quando quest'ultimo si trova sulla bisettrice del primo e del terzo quadrante solo se $\mu = 1$

Ragiono così: se $z= 1 + \mu i$ allora $tan(\alpha) = \mu$, cioè l'argomento di questo numero complesso è uguale a $pi/4$ o $5pi/4$ solo se $\mu = 1$.
Spero sia chiara la mia perplessità.
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Re: Equazione numeri complessi

Messaggioda pilloeffe » 18/07/2019, 13:26

HowardRoark ha scritto:1) Perché la mia risoluzione, cioè $z_{1,2} =\pm \sqrt{\lambda i} $ è errata?

Non è che è errata, è incompleta, cioè non è nella forma algebrica con la quale tipicamente si esprimono le soluzioni di un'equazione complessa:

$ z_{1,2} = \pm sqrt{\lambda i} = \pm sqrt{\lambda} sqrt{i} = \pm \sqrt{\lambda} \sqrt{2}/2 (1 + i) = \pm \sqrt{2\lambda}/2 (1 + i) = \mu (1 + i) = \mu + i\mu $

ove $ \mu = \pm \sqrt{2\lambda}/2 $
Quanto al resto, non si può porre $\mu = 1 $ (o meglio $\lambda = 2 $), perché questo implicherebbe che le soluzioni dell'equazione proposta $ z^2 = i|z-1| $ siano $ z_{1,2} = \pm (1 + i) $, il che è falso... :wink:
E' invece vero che le soluzioni dell'equazione proposta hanno lo stesso argomento di $ \pm (1 + i) $ cioè $\pi/4 $ e $(5\pi)/4 $
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