gio73 ha scritto:Testo nascosto, fai click qui per vederlo
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Corretto!
Come dice axpgn i casi non sono pochissimi ragionando in combinatoria. Io ho ragionato in modo "geometrico" diminuendo i casi a 2. In questo modo
Ho modificato perché c'era un imprecisione nel caso con 3 classi. Desolato.
Attenzione soluzione:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Costruiamo un cerchio ed iscriviamoci un pentagono regolare, e partendo da un vertice qualunque in senso orario numeriamo i vertici nel seguente ordine: 0,1,2,3,4. I vertici rappresentano dunque le classi di congruenze del 5. Tracciamo anche gli assi di simmetria che lasciano invariato il pentagono e passanti per un vertice. Abbiamo 5 simmetrie e 5 assi. Un asse passa per un vertice e per il centro del lato opposto al vertice, prolunghiamo il segmento per arrivare sulla circonferenza.
Bene.
Proprietà 1) Si può facilmente verficare che data una coppia di numeri distinti la somma di essi è congrua alla somma di una coppia di numeri che giace sul vertice il cui asse di simmetria rende i numeri della coppia uno il simmetrico dell'altro.
Ad esempio prendiamo il (2,3), sommati danno 5 che è congruo a 0. Prendiamo (0,3), sommati danno 3. 0 è simmetrico a 3 se l'asse di simmetria passa per 4. E verifichiamo che 4+4=8 che è congruo a 3.
Vale il viceversa.
Proprietà 2) Data una coppia di numeri uguali la loro somma è congrua alla somma dei numeri delle coppie di cui uno è il simmetrico dell'altro rispetto all asse di simmetria che passa dal vertice passante per il numero che forma la coppia uguale. Ad esempio 1+1 = 2+0 = 3 + 4.
Diremo dunque che una coppia di numeri \( (a,b) \sim (c,d) \) se e solo se $a+b \equiv c+d \mod 5 $
È facile verificare che è una relazione di equivalenza.
-Supponiamo che per formare il nostro insieme dobbiamo utilizzare tutte e 5 le classi di congruenza, è immediato verificare che dati 5 numeri qualunque in modo che c'è almeno un numero per ognuno delle 5 classi, la loro somma è un multiplo di 5.
-Supponiamo che per formare il nostro insieme dobbiamo utilizzare esclusivamente 1 sola classe di congruenza, è immediato verificare che dati 5 numeri qualunque appartenenti a questa classe, la loro somma è un multiplo di 5.
-Supponiamo che per formare il nostro insieme dobbiamo utilizzare esclusivamente 2 classi di congreunza, è immediato verificare che dati 9 numeri qualunque appartenenti a queste due classi, in modo tale che ve ne sia almeno uno appartenete a ciascuna delle due classi, la loro somma è un multiplo di 5.
Più delicato il caso se dobbimo utilizzare esclusivamente 3 o 4 classi di congruenza.
Caso 1) Partiamo dal caso di 3 classi di congruenza. Mostriamo che con 3 classi di equivalenza e un insieme $A$ di cardinalità 9, in modo tale che in $A$ possiamo trovare almeno un elemento per ognuna delle 3 classi, allora possiamo sempre trovare 5 numeri che sommati danno un multiplo di 5.
Siano $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c} $ le tre classi in questione.
Dal momento che abbiamo tre classi di equivalenza le tre classi formano un triangolo (isoscele) i cui vertici appartengono al pentagono. Supponiamo senza perdità di generalità che $\bar{c} $ è il vertice da cui partono i due lati di lunghezza uguale. Abbiamo che $\bar{a} $ è il simmetrico di $\bar{b} $ (e viceversa) rispetto all'asse di simmetria passante per $\bar{c}$. Chiamiamo con $ n_a, n_b, n_c$ la cardinalità degli elementi che appartengono sia ad $A$ e rispettivamente sia alla classe di equivalenza $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c} $.
Risulta chiaro che se $n_i \geq 5$ per almeno un $i \in \{ a,b,c\} $ allora possiamo trovare 5 numeri che sommati danno un multiplo di 5.
Consideriamo dunque che $\forall i \in \{ a,b,c\} $ abbiamo $1 \leq n_i \leq 4$. Comunque ordiniamo questi nove numeri sui vertici del triangolo. Le terne di numeri che sommati danno 9 che soddisfano quanto appena detto sono $(1,4,4), (2,3,4),(3,3,3)$.
Se \( n_c = \max\limits_{i \in \{a,b,c \} } n_i \) allora
Per le proprietà 1) e 2) possiamo trovare almeno una coppia di numeri $(\alpha, \beta)$ in modo tale che \( (\alpha, \beta) \sim ( \gamma, \xi) \) con $ \gamma, \xi \in \bar{c} $.
Se \( n_c < \max\limits_{i \in \{a,b,c \} } n_i \) allora abbiamo solo 3 casi possibili (a meno di simmetrie).
1.1) $ n_c = 1$, $n_a=n_b=4$
1.2) $n_c= 2$, $n_a=3$ e $n_b=4$
1.3) $n_c=3$, $n_a=2$ e $n_b=4$
Nel caso 1) trasformiamo le 4 coppie di \( (\alpha_i, \beta_i) \), con \( \alpha_i \in \bar{a}, \beta_i \in \bar{b} \) per ogni $i=1,2,3,4$ in una coppia congruente \( (\alpha_i, \beta_i) \sim (\gamma_i, \gamma_i) \) con \( \gamma_i \in \bar{c} \) per ogni \( i=1,2,3,4 \).
Nel caso 2) trasformiamo due coppie di \( (\alpha_i, \beta_i) \), con \( \alpha_i \in \bar{a}, \beta_i \in \bar{b} \) per ogni $i=1,2$ in due coppie congruenti \( (\alpha_i, \beta_i) \sim (\gamma_i, \gamma_i) \) con \( \gamma_i \in \bar{c} \) per ogni \( i=1,2 \).
Nel caso 3) trasformiamo una coppie di \( (\alpha, \beta) \), con \( \alpha \in \bar{a}, \beta \in \bar{b} \) in una coppia congruente \( (\alpha, \beta) \sim (\gamma, \gamma) \) con \( \gamma \in \bar{c} \).
Pertanto possiamo sempre trovare 5 numeri la cui somma è un multiplo di 5.
Caso 2) Passiamo al caso di 4 classi di congruenza. Mostriamo che con 4 classi di equivalenza e un insieme $A$ di cardinalità 9, in modo tale che in $A$ possiamo trovare almeno un elemento per ognuna delle 4 classi, allora possiamo sempre trovare 5 numeri che sommati danno un multiplo di 5.
Siano $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}, \bar{d} $ le quattro classi in questione.
Dal momento che abbiamo quattro classi di equivalenza i vertici associati alle classi formano un trapezio regolare i cui vertici appartengono al pentagono. Chiamiamo con $ n_a, n_b, n_c, n_d$ la cardinalità degli elementi che appartengono sia ad $A$ e rispettivamente sia alla classe di equivalenza $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}, \bar{d} $.
Risulta chiaro che se $n_i \geq 5$ per almeno un $i \in \{ a,b,c,d\} $ allora possiamo trovare 5 numeri che sommati danno un multiplo di 5.
Consideriamo dunque che $\forall i \in \{ a,b,c,d\} $ abbiamo $1 \leq n_i \leq 4$. Le quaterne di numeri che sommati danno 9 che soddisfano quanto appena detto sono $ (1,1,3,4), (1,2,2,4), (1,2,3,3), (2,2,2,3)$.
Supponiamo senza perdità di generalità che il trapezio formato dai vertici $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}, \bar{d} $, sia in modo tale che la lunghezza dei lati $\bar{a}\bar{b} = \bar{b}\bar{c}=\bar{c}\bar{a}$ e inoltre $\bar{a}\bar{b}$ è parallelo al segmento $\bar{c}\bar{d}$. Con la lunghezza dei lati $\bar{a}\bar{b}< \bar{c}\bar{d}$.
Abbiamo dunque che:
- $\bar{a}$ è il simmetrico di $\bar{d}$ (e viceversa) rispetto all'asse passante per $\bar{c}$.
- $\bar{b}$ è il simmetrico di $\bar{c}$ (e viceversa) rispetto all'asse passante per $\bar{d}$.
- $\bar{a}$ è il simmetrico di $\bar{c}$ (e viceversa) rispetto all'asse passante per $\bar{b}$.
- $\bar{b}$ è il simmetrico di $\bar{d}$ (e viceversa) rispetto all'asse passante per $\bar{a}$.
Per le proprietà 1) e 2) possiamo trovare al più $k$ coppie di numeri $(\alpha_1, \beta_1); \ldots; (\alpha_k,\beta_k)$ in modo tale che \( k:= \min\limits_{i \in \{a,b,c,d \} } n_i \leq 2 \) e $\alpha_j \in \bar{k}$ e $\beta_j$ è il simmetrico di $\alpha_j$ rispetto ad un asse passante per uno dei quattro vertici del trapezio, diciamo $\bar{m}$; in modo tale che \( (\alpha_j, \beta_j) \sim ( \gamma_j, \xi_j) \) con $ \gamma_j, \xi_j \in \bar{m} $ per tutti $j=1,\ldots, k$
In modo tale da ricondurci al caso con 3 classi di congruenze.
Pertanto possiamo sempre trovare 5 numeri la cui somma è un multiplo di 5.
C.V.D.