Problema dinamica relativa

Messaggioda donzo93 » 18/07/2019, 17:30

Buongiorno a tutti, mi servirebbe aiuto per risolvere il punto D di questo esercizio:
"Una massa m può scorrere senza attrito lungo un tubo posto in rotazione intorno ad un suo estremo in un piano orizzontale con velocità angolare costante ω. Alla massa viene appesa una seconda massa identica tramite una fune ideale passante per il centro di rotazione (vd. figura). Determinare:
a) la distanza radiale \( R_0 \) dal centro di rotazione alla quale deve trovarsi la prima massa affinché il sistema sia in equilibrio;
b) il tipo di equilibrio, motivando adeguatamente la risposta;
c) la reazione vincolare laterale opposta dalla parete del tubo in posizione \( R_0 \).
d) supponendo che la prima massa parta da ferma dalla posizione \( R_0 \) trovata, la reazione vincolare laterale opposta dalla parete del tubo quando la massa raggiunge una distanza di \( 2R_0 \)."

Immagine

Allora per quanto riguarda il punto a) e b) si può procedere ponendosi nel sistema di riferimento non inerziale con versori \( \vec u_x \) e \( \vec u_y \) rispettivamente parallelo al tubo diretto verso destra e ortogonale al tubo diretto verso l'alto. So che \( \frac{\partial U}{\partial x} \vec{u_x} = -F(x)\vec{u_x} \) (dove \( U = \) energia potenziale). Quindi facilmente si trova che: \( \frac{\partial U}{\partial x} = T-F_c= mg-m\omega^2R_0 \) dove \( T= \) tensione della corda (il valore lo si ricava dal corpo posto in basso) e \( F_c= \) forza centrifuga. Ponendo \(mg-m\omega^2R_0=0 \) trovo che \( R_0=\frac{\ g}{\omega^2} \) e analizzandone il segno si determina che l'equilibrio è instabile. Per quanto riguarda il punto c) la risposta è \( 0 \) poichè il corpo è fermo in \( R_0 \) e non è soggetto alla forza di Coriolis. Per quanto riguarda il punto d) sono totalmente perso. In teoria la reazione normale della parete laterale del tubo è uguale e opposta alla forza di Coriolis (poichè in quella posizione il corpo si muove, se è tutto giusto quanto detto prima), ma non riesco a venirne a capo.
Ringrazio in anticipo chi mi aiuterà,
Marco
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Messaggioda Sergeant Elias » 18/07/2019, 19:32

Devi determinare la velocità relativa della prima massa quando raggiunge la distanza $2R_0$ conservando l'energia meccanica relativa, somma dell'energia cinetica delle due masse, dell'energia potenziale gravitazionale della seconda massa e dell'energia potenziale centrifuga della prima:

$[-1/2mR_0^2\omega^2=1/2mv^2+1/2mv^2+mgR_0-2mR_0^2\omega^2] ^^ [R_0=g/\omega^2] rarr [v=sqrt2/2g/\omega]$
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Re:

Messaggioda donzo93 » 19/07/2019, 17:01

Sergeant Elias ha scritto:Devi determinare la velocità relativa della prima massa quando raggiunge la distanza $2R_0$ conservando l'energia meccanica relativa, somma dell'energia cinetica delle due masse, dell'energia potenziale gravitazionale della seconda massa e dell'energia potenziale centrifuga della prima:

$[-1/2mR_0^2\omega^2=1/2mv^2+1/2mv^2+mgR_0-2mR_0^2\omega^2] ^^ [R_0=g/\omega^2] rarr [v=sqrt2/2g/\omega]$


Grazie mille Elias sei stato gentilissimo :D Effettivamente e stupidamente non avevo pensato al fatto che la conservazione dell'energia si potesse applicare in questo caso, tenendo opportunamente conto delle forze apparenti. Entro domani posto la soluzione completa, caso mai dovesse servire a qualcuno :D
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Messaggioda Sergeant Elias » 19/07/2019, 20:02

Ottimo. :-)
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Re:

Messaggioda donzo93 » 29/07/2019, 21:31

Scusate il ritardo nella risposta:
faccio una correzione allo svolgimento del punto a) e b) in quanto all'orale (passato :D ) ho avuto modo di discuterlo col professore. Il mio è corretto, ma c'è un modo molto più semplice per farlo: per trovare $ R_0 $ si può semplicemente imporre l'equilibrio delle forze tra la $ T $ e la $ F_c $. In seguito, per definire il tipo di equilibrio, basta notare che le due forze hanno verso esattamente opposto una all'altra e perciò l'equilibrio sarà certamente di tipo instabile. Il punto c) è ok. Per il punto d) riporto quanto detto dal gentilissimo Elias:
Sergeant Elias ha scritto:
$[-1/2mR_0^2\omega^2=1/2mv^2+1/2mv^2+mgR_0-2mR_0^2\omega^2] ^^ [R_0=g/\omega^2] rarr [v=sqrt2/2g/\omega]$


Ora ricordiamo che la reazione normale opposta dalla parete laterale del tubo sarà uguale in modulo e opposta in verso alla forza di Coriolis. Quindi semplicemente $ |vec(N)|=|vec (F_(co))|= 2 momegav= sqrt(2)mg $ . E questo è tutto. Grazie mille :D
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Messaggioda Sergeant Elias » 30/07/2019, 07:46

donzo93 ha scritto:... passato :D ...

Allora, buone vacanze. :-)
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Re:

Messaggioda donzo93 » 30/07/2019, 15:33

Sergeant Elias ha scritto:Allora, buone vacanze. :-)


Grazie! :-D
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