Esercizi algebra lineare

Messaggioda carbo » 28/06/2019, 10:45

Buongiorno, ho trovato difficoltà nello svolgere questi esercizi.
Non so proprio come muovermi per questo vi chiedo un aiuto e ve ne sarei veramente grato :D .
In particolare per quanto riguarda gli esercizi 2,3 la mia difficoltà non è nel trovare immagine e nucleo ma nello "scrivere" l'applicazione di partenza.invece nell'ex 1 non so proprio dove mettere le mani una volta trovata l'applicazione che a me risulta essere: $f(A)=((2a,b+c),(c+b,2d))$
Ex.1
Nello spazio vettoriale $M (2, R)$ delle matrici quadrate reali di 2° ordine si consideri l’applicazione definita da $f(A) = A + A^t$
a) Calcolare il polinomio caratteristico e trovare gli autovalori.
b) Provare che f è semplice.
c) Trovare una base rispetto a cui la matrice di f si rappresenta con una matrice diagonale.

ex2
Sia $w ∈ R^3$ e sia $f : R^3 → R^3$ definita da $f(v) = v ∧ w ∀v ∈ R^3$. a) Dimostrare che f è lineare.
b) Se $w = (1, 2, −1)$, trovare la dimensione e una base di $Kerf $e di $Imf$ .
c) Trovare il polinomio caratteristico dell’endomorfismo f . d) Verificare che l’endomorfismo f `e semplice.

ex3
Sia $f : R^3 → R^3$ la applicazione definita da $f(v) = (v.u)u ∀v ∈ R^3$ dove u è un vettore di norma uno di $R^3$. a) Verificare che f è lineare. b) Caratterizzare geometricamente il nucleo e l’immagine di f.
c) Trovare il polinomio caratteristico dell’endomorfismo f . d) Verificare che l’endomorfismo f è semplice.
carbo
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Re: Esercizi algebra lineare

Messaggioda gugo82 » 28/06/2019, 15:21

carbo ha scritto:In particolare per quanto riguarda gli esercizi 2,3 la mia difficoltà non è nel trovare immagine e nucleo ma nello "scrivere" l'applicazione di partenza.

Insomma, non sai scrivere un prodotto vettoriale o un prodotto scalare in coordinate?

carbo ha scritto:Invece nell'ex 1 non so proprio dove mettere le mani una volta trovata l'applicazione che a me risulta essere: $f(A)=((2a,b+c),(c+b,2d))$
Ex.1
Nello spazio vettoriale $M (2, R)$ delle matrici quadrate reali di 2° ordine si consideri l’applicazione definita da $f(A) = A + A^t$
a) Calcolare il polinomio caratteristico e trovare gli autovalori.
b) Provare che f è semplice.
c) Trovare una base rispetto a cui la matrice di f si rappresenta con una matrice diagonale.

Come si calcola il polinomio caratteristico?
Bisogna prima rappresentare la $f$ con una matrice.
Come si fa a rappresentare la $f$ con una matrice?
Bisogna fissare una base in dominio e codominio.
Qual è una base di $mathbb(M)(2,RR)$?
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Re: Esercizi algebra lineare

Messaggioda carbo » 30/06/2019, 15:38

gugo82 ha scritto:
carbo ha scritto:In particolare per quanto riguarda gli esercizi 2,3 la mia difficoltà non è nel trovare immagine e nucleo ma nello "scrivere" l'applicazione di partenza.

Insomma, non sai scrivere un prodotto vettoriale o un prodotto scalare in coordinate?

carbo ha scritto:Invece nell'ex 1 non so proprio dove mettere le mani una volta trovata l'applicazione che a me risulta essere: $f(A)=((2a,b+c),(c+b,2d))$
Ex.1
Nello spazio vettoriale $M (2, R)$ delle matrici quadrate reali di 2° ordine si consideri l’applicazione definita da $f(A) = A + A^t$
a) Calcolare il polinomio caratteristico e trovare gli autovalori.
b) Provare che f è semplice.
c) Trovare una base rispetto a cui la matrice di f si rappresenta con una matrice diagonale.

Come si calcola il polinomio caratteristico?
Bisogna prima rappresentare la $f$ con una matrice.
Come si fa a rappresentare la $f$ con una matrice?
Bisogna fissare una base in dominio e codominio.
Qual è una base di $mathbb(M)(2,RR)$?


per quanto riguarda il primo dopo aver calcolato quella $f(A)$ non so come rappresentarla.

il prodotto vettoriale so scriverlo, nel caso in questione risolvendo il determinante della matrice $((i,j,k),(x,y,z),(1,2,-1))$ mi viene $i(-y-2z)-j(-x+z)+k(2x+y).$
ho messo x y z nella seconda riga in quando mi viene fornito solo il vettore w.
poi ho risolto il sistema ponendo le componenti di i,j,k uguali a 0 (non so se si fa cosi) e quindi mi viene $dim(Im)=2$ e dal teorema della dimensione ho dedotto che la $dim(ker)=1$ quindi $B(im)={(0,1,2),(-1,0,1)}$ e $B(ker)={(1,-2,1)}$ ora calcolo il polinomio caratteristico ma di certo ho sbagliato perché la soluzione del polinomio caratteristico è strana.

per quanto riguarda il terzo so che è un prodotto misto e so come si calcola ma non mi viene fornito nessun vettore e quindi non so come muovermi.
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Re: Esercizi algebra lineare

Messaggioda gugo82 » 04/07/2019, 03:46

Hai $f(((a,b),(c,d))) = ((2a , b+c), (b+c, 2d))$ e, visto che una base di $mathbb(M)(2,RR)$ è costituita da $e_1=((1,0),(0,0)), e_2= ((0,1),(0,0)), e_3=((0,0),(1,0)), e_4= ((0,0),(0,1))$, la matrice $F$ che rappresenta $f$ in coordinate è una matrice $4xx4 $.
Ora, dato che $f(e_1) = ((2,0),(0,0)) = 2e_1$, $f(e_2)=((0, 1),(1,0)) = e_2 + e_3$, $f(e_3) = f(e_2)=e_2+e_3$ ed $f(e_4) = ((0,0),(0,2)) =2e_4$, hai $F=((2, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 1,1,0), (0, 0, 0, 2))$.
Gli autovalori di $f$ si ottengono calcolando quelli di $F$, ossia risolvendo $det(F-lambda I) =0$.
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Re: Esercizi algebra lineare

Messaggioda carbo » 07/07/2019, 16:10

gugo82 ha scritto:Hai $ f(((a,b),(c,d))) = ((2a , b+c), (b+c, 2d)) $ e, visto che una base di $ mathbb(M)(2,RR) $ è costituita da $ e_1=((1,0),(0,0)), e_2= ((0,1),(0,0)), e_3=((0,0),(1,0)), e_4= ((0,0),(0,1)) $, la matrice $ F $ che rappresenta $ f $ in coordinate è una matrice $ 4xx4 $.
Ora, dato che $ f(e_1) = ((2,0),(0,0)) = 2e_1 $, $ f(e_2)=((0, 1),(1,0)) = e_2 + e_3 $, $ f(e_3) = f(e_2)=e_2+e_3 $ ed $ f(e_4) = ((0,0),(0,2)) =2e_4 $, hai $ F=((2, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 1,1,0), (0, 0, 0, 2)) $.
Gli autovalori di $ f $ si ottengono calcolando quelli di $ F $, ossia risolvendo $ det(F-lambda I) =0 $.

ok grazie mille ora è molto più chiaro, invece per quanto riguarda il secondo esercizio si fa come ho scritto sopra o no?
per trovare base e dimensione di $ker(f)$ pongo le componenti del prodotto vettoriale uguali a $ 0$ invece per trovare una base e dimensione di $Im(f)$ risolvo la matrice associata alle componenti.
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Re: Esercizi algebra lineare

Messaggioda gugo82 » 15/07/2019, 09:49

carbo ha scritto:ex2
Sia $w in RR^3$ e sia $f : RR^3 -> RR^3$ definita da $f(v) = v ^^ w$ per ogni $v in RR^3$.
a) Dimostrare che $f$ è lineare.
b) Se $w = (1, 2, −1)$, trovare la dimensione e una base di $text(Ker)(f) $ e di $text(Im)(f)$ .
c) Trovare il polinomio caratteristico dell’endomorfismo $f$.
d) Verificare che l’endomorfismo $f$ è semplice.

Per quanto riguarda il quesito a), la linearità segue dalle proprietà del prodotto vettoriale.

Per b), visto che è cosa nota che (indipendentemente da chi sia $w != mathbf(0)$) $v ^^ w = mathbf(0)$ se e solo se $v$ è parallelo a $w$, è evidente che $text(Ker)(f) = text(span)\{w\} = \{ alpha w,\ alpha in RR\}$, che $\{w\}$ è una base di $text(Ker)(f)$ e perciò $dim text(Ker)(f) = 1$. In particolare, nel caso $w=(1,2,-1)$ hai $text(Ker)(f) = \{ (alpha, 2alpha, - alpha), alpha in RR\}$.
Analogamente, visto che è cosa nota che (indipendentemente da chi sia $w != mathbf(0)$) si ha $v ^^ w bot w$ e dalla relazione $dim text(Im)(f) + dim text(Ker)(f) = dim RR^3 = 3$, puoi intuire che $text(Im)(f) = (text(Ker)(f))^bot$ (cioè che l’immagine di $f$ è il complemento ortogonale del nucleo). Per verificarlo, andiamo a scrivere esplicitamente la legge di $f$: per noti fatti sul calcolo del prodotto vettoriale abbiamo:
\[
\begin{split}
f(x,y,z) &= \left( \begin{vmatrix} y & z \\ 2 & -1 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} z & x \\ -1 & 1 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} x & y \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \right) \\ &= (- y - 2z , x + z, 2x - y ) \\ &= \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}}_{=: F} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
\end{split}
\]
dunque, visto che $ det F = 0$ e che il minore $F_{12,12} = |(0, -1),(1,0)| != 0$, l’immagine di $f$ coincide con $text(span)\{ (0, 1, 2), (-1, 0, -1)\}$, $\{ (0, 1, 2), (-1, 0, -1)\}$ è una base di $text(Im)(f)$ e $dim text(Im)(f) = 2$; inoltre, dato che $ (0, 1, 2) * (1, 2, -1) = 0 = (-1, 0, -1) * (1, 2, -1)$, i due vettori di base sono ortogonali a $w$ e perciò $text(Im)(f)$ coincide col complemento ortogonale di $text(Ker)(f) = text(span)\{w\}$.

Per c) basta fare i conti, calcolando $det (F - lambda I)$.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
In particolare trovi:
\[
\begin{split}
\det (F - \lambda I) &= \begin{vmatrix} - \lambda & -1 & -2 \\ 1 & -\lambda & 1 \\ 2 & -1 & -\lambda \end{vmatrix} \\
&= -\lambda^3 - 6 \lambda \\
&= -\lambda (\lambda^2 + 6)
\end{split}
\]
e a ciò segue che $f$ ha solo l’autovalore nullo in campo reale (e gli autovalori complessi coniugati $+- sqrt(6) i$, oltre a $0$, in campo complesso).


Per d) basta calcolarsi gli autovettori e vedere se tre di essi formano una base di $RR^3$.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Ma ovviamente, non avendo tutti gli autovalori reali, il problema non si pone.
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Re: Esercizi algebra lineare

Messaggioda gugo82 » 19/07/2019, 01:46

carbo ha scritto:ex3
Sia $f : RR^3 -> RR^3$ la applicazione definita da $f(v) = (v*u)u$ per ogni $v in RR^3$ dove $u$ è un vettore di norma uno di $RR^3$.

a) Verificare che $f$ è lineare.
b) Caratterizzare geometricamente il nucleo e l’immagine di $f$.
c) Trovare il polinomio caratteristico dell’endomorfismo $f$.
d) Verificare che l’endomorfismo $f$ è semplice.

La linearità segue immediatamente dalle proprietà del prodotto scalare $*$ e del prodotto con uno scalare.

Il quesito b è più interessante.
Innanzitutto osserva che $u != mathbf(0)$ perché per ipotesi è $|u| = 1$. Da ciò segue che $f(v) = mathbf(0)$ se e solo se $v*u = 0$ e, per noti fatti, ciò significa che $v bot u$; dunque $v in text(Ker)(f) <=> v bot u <=> v in (text(span) \{ u\})^bot$ e dunque $text(Ker)(f)$ coincide col complemento ortogonale del sottospazio $text(span) \{ u\}$ generato da $u$, i.e. $text(Ker)(f) = (text(span) \{ u\})^bot$.
D’altro canto, $f(v) = (v*u)u in text(span) \{ u\}$ per ogni $v$, dunque è $text(Im)(f) sube text(span) \{ u\}$; viceversa, scelto $alpha u in text(span) \{ u\}$ si ha $f(alpha u) = alpha f(u) = alpha (u*u)u = alpha u$1, sicché $alpha u in text(Im)(f)$ e $text(span) \{ u\} sube text(Im)(f)$; quindi l’immagine di $f$ coincide col sottospazio generato da $u$, i.e. $text(Im)(f) = text(span) \{ u\}$.

Il ragionamento appena fatto ci dice che $f$ ha l’autovalore $lambda_0 = 0$, perché $text(Ker)(f) != emptyset$, con molteplicità geometrica $2 = dim text(Ker)(f) = 3 - dim text(span) \{ u\}$; inoltre $f$ ha anche l’autovalore $lambda_1 = 1$, poiché i vettori $w=alpha u in text(span) \{ u\} = text(Im)(f)$ vengono fissati da $f$ (nel senso che $f(w) = w$), con molteplicità geometrica $1 = dim text(Im)(f)$.
Ne viene che le molteplicità algebriche di $lambda_0$ e $lambda_1$ coincidono con quelle geometriche e perciò cogliamo i proverbiali due piccioni con una fava, potendo rispondere contemporaneamente ai quesiti c e d: il polinomio caratteristico di $f$ è del tipo $C lambda^2 (lambda - 1)$ (con $C in RR$ costante da determinare facendo un conto esplicito) ed $f$ è semplice, perché soddisfa le condizioni di diagonalizzabilità.

Note

  1. Ricorda che $u*u = |u|^2 = 1$ per ipotesi.
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