Limite con sommatoria

Messaggioda paolods99 » 20/07/2019, 14:08

Buongiorno, ho difficoltà nel calcolare questo limite:
$\lim_(x\to0^+)(x^(-1)\sum_{n=1}^\infty (x/(x+1))^n)$
Non riesco a capire come trattare la sommatoria che si trova all'interno del limite.
Ho visto che se n=1 il limite è 1 e con n>1 il limite è sempre 0.
Quindi il risultato dovrebbe essere 1?
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Re: Limite con sommatoria

Messaggioda caffeinaplus » 20/07/2019, 14:21

Ciao,
la sommatoria all'interno del limite serve solo a complicarti un poco la vita, ma non dovrebbe essere nulla di impossibile :-D
Se essa converge a, supponiamo, un certo $l in RR$ allora avrai

$lim_(x->0+) l/x$ che ovviamente diverge.

Quindi, il primo passo, è studiare la serie, poi risolvere il limite :-D
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Re: Limite con sommatoria

Messaggioda gugo82 » 20/07/2019, 14:21

Beh, io direi che quella è una delle pochissime serie che si sanno sommare, no?
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Limite con sommatoria

Messaggioda paolods99 » 20/07/2019, 14:35

ok dunque la serie ha come somma x e dunque il limite è uguale ad 1
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Re: Limite con sommatoria

Messaggioda pilloeffe » 20/07/2019, 15:06

Ciao paolods99,

Sì, il limite proposto vale $1 $ perché la serie che vi compare ha somma $x $ se $|x|/|x + 1| < 1 $, cioè se $x \in (-1/2, +\infty) $ e siccome se $x \to 0^+ $ certamente $x \in (-1/2, +\infty) $...
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