Studio di funzione

Messaggioda michael046 » 20/07/2019, 12:27

Salve a tutti devo studiare la seguente funzione $ arctan (1/sqrt(2-|x|)) $ ;
in particolare mi interessa:
1) il dominio con eventuali punti singolari;
2)eventuali asintoti
3) studiarne derivata, derivabilità ed eventuali punti di estremo relativo.
io sono arrivato alle seguenti conclusioni
1) la funzione è definita nell'intervallo $]-2;2[$ che a loro volta sono punti di singolarità.
2) non ci sono asintoti.
3) la derivata mi risulta $ x/((6|x|-2x^2)sqrt(2-|x|)) $ la funzione non è derivabile nello 0, però adesso non riesco a calcolare eventuali punti di minimo o di massimo.
Help me Please
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Re: Studio di funzione

Messaggioda gugo82 » 20/07/2019, 12:52

Non si capisce cosa tu voglia sapere.
Hai già svolto parte dell’esercizio o quelle che riporti sono le soluzioni?
Nel primo caso, ti bastano conferme dei tuoi risultati? O vuoi sicurezza sul metodo?
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Studio di funzione

Messaggioda michael046 » 20/07/2019, 14:14

Io ho già svolto l'esercizio a parte il fatto che non riesco a trovare degli eventuali punti di minimo o massimo relativo, inoltre vorrei qualche sicurezza sulla correttezza dei risultati
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Re: Studio di funzione

Messaggioda gugo82 » 20/07/2019, 15:04

1. Giusto.
Che tipi di singolarità hai in $+- 2$?

2. Giusto.
Perché?

3. La derivata non mi pare giusta, per un esponente sotto radice (che comunque non ti cambia la vita).
Posta qualche conto.
Non vedo perché tu non riesca a determinare massimi e minimi… Qual è il problema?
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Re: Studio di funzione

Messaggioda michael046 » 20/07/2019, 17:41

1) singolarità eliminabile, perchè esiste il limite ma non la funzione.
2) perchè la funzione arctan non ammette asintoti verticali in quanto la sua immagine è $ [Pi /2; -Pi/2] $ e non ci possono essere asintoti verticali o obliqui perchè il dominio non va a $ +-oo $ .
3) ti posto tutti i passaggi che ho fatto io per la derivata:
$ 1/(1+1/(2-|x|)) * (-1/(2*sqrt(2-|x|)))* (-x/|x|) =$
nel primo pezzo faccio il minimo comune multiplo e poi semplifico col denominatore del secondo e viene
$ 1/(3-|x|) * (-1/sqrt(2-|x|))* (-x/|x|)= $
e poi facendo ulteriori semplificazioni arrivo alla conclusione che
$f'(x)= x/((6|x|-2x^2)sqrt(2-|x|) $
ora i punti di estremo ho difficoltà a trovarli, perchè solitamente li trovo tramite la monotonia della derivata, in questo caso appunto ho difficolta a stabilire dove la derivata assume valori positivi o negativi..
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Re: Studio di funzione

Messaggioda pilloeffe » 20/07/2019, 22:49

Ciao michael046,

Benvenuto sul forum!
Col presente volevo farti osservare che si verifica facilmente che $f(x) = arctan(1/sqrt(2-|x|)) $ è una funzione pari, quindi nello studio ci si può limitare all'intervallo $[0, 2) $ ed in tale intervallo si ha $|x| = x $, ciò che rende il calcolo della derivata prima più semplice:

$f'(x) = \frac{1}{(6 - 2x)\sqrt{2 - x}} $

Tale derivata è sempre positiva per $x \in (0, 2) $ e pertanto la funzione proposta è crescente in tale intervallo. Si trova subito $f(0) = arctan(1/sqrt(2)) $, poi non è difficile rendersi conto che si ha $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \pi/2 $
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Re: Studio di funzione

Messaggioda michael046 » 21/07/2019, 08:42

Ti ringrazio per la spiegazione, devo dire che è davvero molto esaustiva, mi rimangono solo 2 dubbi, il primo è riguardo alla mia derivata, essendo diversa dalla tua suppongo abbia sbagliato in qualcosa giusto?
Il secondo è, come faccio a provare che la funzione è pari? So che una funzione è definita pari se $f(-x)=f(x), ciò vuol dire che mi basta fare il limite per x che tende a 2 e a -2 e vedere che viene lo stesso giusto?
E un'altra cosa secondo te nel caso di un esame scritto, un professore accetta che dico che si tratta di una funzione pari e quindi la analizzo solo in mezzo dominio?
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Re: Studio di funzione

Messaggioda pilloeffe » 21/07/2019, 10:01

michael046 ha scritto:Ti ringrazio per la spiegazione, devo dire che è davvero molto esaustiva

Prego! :smt023
michael046 ha scritto:mi rimangono solo 2 dubbi, il primo è riguardo alla mia derivata, essendo diversa dalla tua suppongo abbia sbagliato in qualcosa giusto?

Non necessariamente: attenzione che la mia vale solo per $x \in (0, 2) $, ove in $f(x) $ si può sostituire $|x| $ con $ x $ che è più comodo... :wink:
michael046 ha scritto:Il secondo è, come faccio a provare che la funzione è pari?

Semplice:

$f(-x) = arctan(1/sqrt(2-|-x|)) = arctan(1/sqrt(2-|x|)) = f(x) $
michael046 ha scritto:ciò vuol dire che mi basta fare il limite per x che tende a 2 e a -2 e vedere che viene lo stesso giusto?

No, ti basta $ \lim_{x \to 2^-} f(x) = \pi/2 $, poi dato che la funzione è pari l'altro non c'è bisogno di calcolarlo: sai già che $ \lim_{x \to -2^+} f(x) = \pi/2 $
michael046 ha scritto:E un'altra cosa secondo te nel caso di un esame scritto, un professore accetta che dico che si tratta di una funzione pari e quindi la analizzo solo in mezzo dominio?

Ritengo che dovrebbe apprezzarlo, perché riuscire a rendere più semplici le cose è indice di intelligenza: però più che dirlo magari è meglio se lo dimostri... :wink:
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Re: Studio di funzione

Messaggioda michael046 » 21/07/2019, 19:39

Vabbe si, con dire che è un funzione pari intendevo dimostrarlo come hai fatto tu, comunque ti ringrazio molto per l'aiuto
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Re: Studio di funzione

Messaggioda michael046 » 22/07/2019, 11:11

Scusami se insisto su quest'esercizio ma rileggendo il testo ho pensato che in realtà la derivata devo calcolarla in tutto il dominio, quindi non basta in $[0;2)$, posso chiederti un aiuto per calcolarla nel resto del dominio, quindi in $(-2;0]$?
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