Ci ho riflettuto un attimo, sulla dimostrazione del lemma di scambio, e sono giunto alla gaia conclusione che probabilmente domenica scorsa ero sballato. Credo sia doveroso riportare quella corretta.
Proposizione (Lemma di scambio). Sia \( V \) uno spazio vettoriale finitamente generato sul campo \( C \), da un insieme \( \left\{v_1,\dots,v_n\right\} \) di \( n \) vettori. Allora, ogni sottoinsieme \( \left\{w_1,\dots,w_r\right\}\subset V \) di \( r>m \) elementi è linearmente dipendente.
Dimostrazione. L'idea è di procedere per assurdo, assumendo i \( w_1,\dots, w_r \) linearmente indipendenti, per un \( r>n \). Un generatore \( v_i \) appartiene, in tal caso, allo spazio generato da \( w_1 \) e dai vettori \( v_j \), per \( j\neq i \); a meno di una permutazione degli indici, tale vettore è \( v_1 \). Come d'altronde ogni dimostrazione di questo fatto avanza, ne deriva che l'insieme \( \left\{w_1,v_2,\dots,v_n\right\} \) è un genratore. Nella nostra ipotesi, conviene infatti che si dimostri che \( V \) è ancora generato, per ogni \( 1\leqq k<m \), da un insieme \( \left\{w_1,\dots,w_k,v_{k+1},\dots,v_m\right\} \). Più formalmente, quello che conviene dimostrare è che, per ogni naturale \( k \), se vale la catena di disuguaglianze \( 1\leqq k<m \), i vettori \( w_1\dots,w_k,v_{k+1},\dots,v_m \) ancora generano lo spazio (è un'affermazione sensata, ché i vettori dell'insieme che qui è assunto linearmente indipendente, sono in numero maggiore dei generatori). L'ipotesi per \( k=1 \) già è stata confermata. Se la cosa regge per un \( k \) naturale qualunque, sarà lecito scrivere il vettore \( w_{r+1} \) come
\[
w_{r+1}=\sum_{i=1}^k\alpha_iw_i+\sum_{i=k+1}^n\beta_iv_i
\] per \( \alpha_1,\dots,\alpha_k \) e \( \beta_{k+1},\dots,\beta_n \) elementi di \( C \). Un coefficiente \( \beta_i \) sarà non nullo per considerazioni di servizio, e la conclusione di tale fatto
1 è l'appartenenza del vettore \( v_{k+1} \) allo span di \( w_1,\dots,w_{k+1}, v_{k+2},\dots,v_n \). Una contraddizione sembra seguire da sola. \( \square \)