Spazi quozienti

Messaggioda Cantor99 » 21/07/2019, 16:30

Salve vorrei discutere con voi di spazi quozienti (che ho solo accennato) e lo vorrei fare con un esempio
In $\mathbb{R}$ con la topologia standard si consideri l'equivalenza
\[
x\sim y \Leftrightarrow x=y \mbox{ o } |x|=|y|>1
\]
Provare che è connesso e a base numerabile ma non di Hausdorff

Prima cosa dovrei avere
\[
[x]=\begin{cases}
\{x\}, & |x|\le 1 \\
\{\pm x\}, & |x|>1
\end{cases}
\]
Gli aperti di $X=\mathbb{R}/\sim$ sono tutti e sole le unioni di elementi del tipo $\pi^{-1}]a,b[$, con $\pi : \mathbb{R}\to \mathbb{R}/\sim$ la proiezione canonica. Ad esempio, se $a,b>0$
\[
\pi^{-1}]a,b[=\begin{cases} ]a,b[, & ]a,b[\subseteq [-1,1]\\
]-b,-1]\cup [a,1]\cup]1,b[, & ]a,b[\cap[-1,1]=]a,1]\\
]-b,-a[\cup]a,b[, & ]a,b[\cap ]-1,1[=\emptyset
\end{cases}
\]
Per simmetria dovrei ottenere gli altri elementi della base canonica.

Finora ha tutto senso quello che ho scritto?
Grazie
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Re: Spazi quozienti

Messaggioda otta96 » 21/07/2019, 17:32

C'è qualche incongruenza, credo che nella relazione ci fosse un maggiore che è diventato un uguale, che rende falso l'esercizio.
Inoltre fai sistematicamente la retroimmagine tramite la proiezione di insiemi di numeri reali, che non ha senso, pensaci un po' meglio.
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Re: Spazi quozienti

Messaggioda Cantor99 » 21/07/2019, 18:47

Sì ho errato e invertito le cose ... :?
Il punto è che le classi di equivalenza sono punti o coppie di punti simmetriche : non posso rappresentare le unioni di classi di equivalenza come intervalli?
Avendo
\[
\pi^{-1}([x])=\begin{cases}
\{x\}, & |x|\le1\\ \{\pm x\}, & |x|> 1
\end{cases}
\]
Per ottenere un aperto $]a,b[\subseteq [-1,1]$ basta fare
\[
]a,b[=\pi^{-1}(]a,b[)
\]
dove $]a,b[$ è inteso come unione di classi di equivalenza, che sono singolette.
Se ho $]a,b[$, con $a>1$ dovrei avere
\[
]a,b[=\pi^{-1}(]-b,-a[\cup ]a,b[)
\]

Se, invece, $a<1$ e $b>1$
\[
]a,b[=\pi^{-1}(]-b,-1]\cup]a,b[)
\]
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