Conseguenza dei teoremi di incompletezza di Godel

[cloudy4444]

Salve, ho questa domanda che mi frulla in testa ma non avendo studiando logica non so darmi, nè trovare, una risposta. I teoremi di incompletezza di Godel si applicano anche all'insieme (molto vasto) della matematica odierna? Per esempio, nel sottoinsieme dell'analisi matematica (in cui però rientrano anche gli assiomi dell'aritmetica ecc..), è possibile che la congettura di Riemann sia giusta ma che con gli assiomi attuali non sia possibile dimostrarla (come afferma il th di Godel)?

[caulacau]

Beh, non è che esistano due matematiche, una che risente dei teoremi di Godel e una che no...

[cloudy4444]

immagino di no ahhahaha comunque il punto è che da quel che ho capito( e potrei aver capito male) i teoremi di incompletezza sono stati dimostrati per la logica del primo ordine e dato che l'analisi matematica coinvolge la logica di complessità superiore (secondo ordine?) allora non sapevo se i teoremi si applicavano anche a quel sistema. In ogni caso grazie per la risposta!

[Ancona]

I fenomeni di incompletezza alla Godel si manifestano anche per logiche di ordine superiore al primo. Tra l'altro dire che un enunciato è "vero ma non dimostrabile" ha senso al secondo ordine, ma non al primo ordine. Al primo ordine il teorema di Completezza ti dice che se un enunciato è indecidibile allora è vero in un modello e falso in un altro modello. Quindi in questo caso dire che è vero significa dire "vero nel modello standard" (e falso in un modello non standard). Comunque , nel caso di RH ha senso chiedere la decidibilita a partire dagli assiomi di ZFC, che sono al primo ordine. Nota che il fatto che una teoria non sia assiomatizzabile al primo ordine non significa che non possa essere formalizzata internamente a un'altra teoria al primo ordine tipo ZFC.
Per quanto riguarda la decidibilita di RH nello specifico si può dire qualcosina, vedi qui https://mathoverflow.net/questions/7968 ... ndecidable

[Ancona]

Avevo scritto ormai parecchi giorni fa una risposta completa ma non so dove sia finita,forse lo sanno i moderatori......
In ogni caso i teoremi di incompletezza non si riferiscono solo alla logica del primo ordine. D'altra parte l'indecidibilita' di RH di solito si studia rispetto agli assiomi di ZFC, che sono assiomi al primo ordine. Hai ragione col dire che non è possibile dare assiomi al primo ordine i cui modelli siano ad esempio tutti e soli gli spazi topologici, ma questo non significa che la topologia insieme a tante altre parti della matematica non possa essere formalizzata internamente a una teoria degli insiemi al primo ordine come ad es ZFC.

Ancona 13.37 24/07/2019

[cloudy4444]

Grazie infinite per la risposta chiarissima e per l'articolo!