Sia $A\inM_n(RR)$ una matrice simmetrica, considero la funzione quadratica $f:RR^n->RR^n$ definita da $f(x)=x^TAx$.
Voglio calcolare il gradiente $\gradf(x)$.
Per prima cosa scrivo la funzione $f$ in coordinate:
$f(x_1,...,x_n)=\sum_{i=1}^n x_i * (\sum_{j=1}^n A_{ij}*x_j) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n x_i * A_{ij}*x_j$.
Ora calcolo la derivata parziale di $f$ rispetto a $x_k$:
$\partial / {\partial x_k} f(x_1,...,x_n) = \partial / {\partial x_k} (\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n x_i * A_{ij}*x_j) =$
$= \partial / {\partial x_k} ((\sum_{j=1,j \ne k}^n x_k * A_{kj}*x_j) + x_k * A_{kk} * x_k) =$
$= (\sum_{j=1,j \ne k}^n A_{kj}*x_j) + 2x_k * A_{kk} =$
$= (\sum_{j=1}^n A_{kj}*x_j) + x_k * A_{kk}$.
Ora dovrei mostrare che questo gradiente si scrive in forma matriciale come $\gradf(x)=2Ax$, ma non si sembra che dai miei conti si deduca questo...dove ho sbagliato?