Composizione relativistica

Messaggioda mainlinexile » 20/07/2019, 22:08

Mi sono preso tempo per rivedere la composizione relativistica.

Assumiamo un esempio ricorrente in rete:
Un'astronave $A$ viaggia a V=0,8c rispetto ad un osservatore sulla terra.
A bordo dell'astronave $A$, si scorge una seconda astronave $B$ che la supera a U'=0,4c (quindi con direzione e verso identici).

La canonica relazione asserisce che la velocità di $B$ misurata dall'osservatore terrestre equivale a:

$V_B = (V_A + U') / (1+ (V_A U')/ (c^2)$ = $0.91c$

Questo numero diverge dal risultato che si avrebbe con una trasformazione diretta con fattore $gamma$.
Se il tempo locale di $A$ che viaggia a 0,8c è dilatato di $1/(0,6)$, non significa forse che 0,4c misurati a bordo di $A$ risultano 0,24c per l'osservatore terrestre? (rendendo impossibile tale rilevamento di U'=0,4 poichè la velocità assoluta sarebbe maggiore di 1c).
Shackle, in che modo viene integrato $gamma$ all'interno di quella relazione?
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Re: Composizione relativistica

Messaggioda Shackle » 20/07/2019, 23:14

In realtà il fattore $gamma$ non entra nella composizione relativistica delle velocità, o meglio, si semplifica, quando si tratta di comporre due TL sullo stesso asse.

Un osservatore $O'(x',t')$ è in moto lungo l'asse $x$ di un osservatore $O(x,t)$ con velocità $v$ . Le TL tra le coordinate spaziotemporali sono :

$t' = gamma(t-v/c^2x)$
$x' = gamma (x-vt)$

Un oggetto si muove con velocità costante $u' = (x')/(t')$ (evito di scrivere il simbolo $d$ di differenziale, per non appesantire la scrittura) rispetto ad $O'$ . Quindi :

$x' = u't' \rarr gamma(x-vt) = u'gamma(t-v/c^2x) $

eliminando $gamma $ si ha : $ x-vt = u'(t-v/c^2x) \rarr x = (u'+v)/(1+(u'v)/c^2 ) t $

e cioè, detta $u =x/t$ la velocità dell'oggetto rispetto a $O(x,t) $ , si ha : $u =(u'+v)/(1+(u'v)/c^2 )$

Questo è quanto .
Ultima modifica di Shackle il 26/07/2019, 05:31, modificato 1 volta in totale.
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Re: Composizione relativistica

Messaggioda mainlinexile » 21/07/2019, 00:03

Ok. In sostanza il fattore di Lorentz, verificato e certo, viene eliminato dalla relazione dallo stesso Lorentz (insieme ad Einstein), riconducendo dunque a diversi risultati.
Che dire.... Eccellente lavoro.
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Re: Composizione relativistica

Messaggioda Shackle » 21/07/2019, 00:29

Non è come vorresti evidenziare tu. Non è una falla della teoria, come potrebbe sembrare a prima vista . Il fatto vero è che la relatività è difficile da capire, se non la si studia a fondo. Ho detto che il fattore $gamma$ non entra nella composizione relativistica delle velocità , per rendere la questione di più facile comprensione. Ma se proprio vuoi, lo si può far entrare , come detto qui di seguito.

Quando si compongono due trasformazioni di Lorentz sullo stesso asse, si ottiene ancora una trasformazione di Lorentz su quell'asse, ma la composizione delle TL è un po' più delicata di quanto non sembri. Da un vecchio messaggio del solito navigatore cito questo :

navigatore ha scritto:Se si compongono due trasformazioni di Lorentz in una stessa direzione si ottiene ancora una trasformazione di L. in quella direzione. È abbastanza facile vederlo, salvo un po' di complicazione nelle formule di trasformazione delle velocità.
Supponiamo di avere 3 sistemi inerziali $S , S' , S'' $, con assi spaziali ugualmente orientati, in moto relativo lungo l'asse $x = x' = x''$ .
Sia $v_2$ la velocità di $S''$ rispetto a $S'$ , il quale a sua volta si muove con velocità $v_1$ rispetto a $S$ .

Le TL da $S'$ a $S''$ sono :

$ x'' = \gamma(v_2)(x' - v_2t') $ --------(1)
$ t'' = \gamma(v_2)(t' - v_2/c^2x') $ ----(2)

analogamente, quelle da $S$ a $S'$ sono :

$ x' = \gamma(v_1)(x - v_1t) $ --------(3)
$ t' = \gamma(v_1)(t' - v_1/c^2x) $ ----(4)

la formula per la composizione relativistica delle velocità $v_1$ e $v_2$ dà luogo alla velocità collineare :

$v = (v_1 + v_2)/(1+(v_1v_2)/c^2)$ -----(5)

e sostituendo le (3) e (4) nelle (1) e (2) si trova, tenendo conto della (5) , che :

$ x'' = \gamma(v_2)\gamma(v_1) (1 + (v_1v_2)/c^2)(x - vt) $ --------(6)
$ t'' = \gamma(v_2)\gamma(v_1) (1 + (v_1v_2)/c^2)(t - v/c^2x) $ -----(7)

se si pone : $ \gamma (v) = \gamma(v_2)\gamma(v_1) (1 + (v_1v_2)/c^2) $ -----(8)

le (6) e (7) si possono scrivere come un'unica TL collineare per passare dalle coordinate $(x,t)$ alle coordinate $(x'',t'')$ :

$ x'' = \gamma(v)(x - vt) $ --------(9)
$ t'' = \gamma(v)(t - v/c^2x) $ ----(10)

Faccio un esempio numerico.

$S'$ è un'astronave che si allontana da $S$ con velocità $v_1 = 0.6c$ , e da $S'$ viene lanciata un'astronave $S''$ che si muove rispetto a $S'$ con velocità $v_2 = 0.6c$ nella stessa direzione; risulta :

$\gamma (v_1) = \gamma (v_2) = 1.25$

$ v = (0.6 + 0.6)/(1 + 0.6*0.6) *c = 0.882c$

$\gamma(v) = 1.25 * 1.25 (1 + 0.6*0.6) = 2.125$

Con queste espressioni di velocità e di fattore di Lorentz si possono risolvere i soliti problemi di passaggio dalle coordinate di $S$ a quelle di $S''$, quando i loro moti sono collineari. Non è il caso di insistere su questi aspetti.


Perciò , nel tuo esempio , essendo : $gamma(0.8c) = 1.667$ , e $gamma (0.4c) = 1.09$ , risulta :

$gamma (0.91c) = 1.667*1.09 ( 1 + 0.8*0.4) =\approx 2.4 $

E infatti, se calcoli direttamente , ottieni : $gamma(0.91c) =2.41$

Ci sono piccole differenze nei valori finali, dovute ad arrotondamenti sui valori delle velocità .

Quindi, posso concludere , parafrasando la tua frase ironica : Il lavoro è eccellente, si.
Potrei mostrarti altri modi per ricavare la composizione delle velocità , ma credo che non sia il caso, perciò penso di chiudere qui .
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Re: Composizione relativistica

Messaggioda mainlinexile » 21/07/2019, 21:20

Perdona l'ardire, ma il punto preciso che non torna da un controllo incrociato è la velocità di $B$ rilevata a bordo e col tempo locale di $A$, che non può essere 0,4c, se al cronometro risulta 0,11c più veloce per l'osservatore terrestre.

Il tempo locale di $A$ ha un fattore di $1/(0,6)$, e se la differenza di velocità con tempo coordinato terrestre è di 0,11c, moltiplicandola col fattore ottieni 0,18c.
Lo 0,4c lo suppone il relatore, derivandolo dal calcolo inverso della formula in questione, ma è una misurazione impossibile da ottenere, poichè 0,4 diviso il fattore del tempo locale di $A$ riconduce a 0,24c. Il che significa che la velocità complessiva nel campo sarebbe 1,04c.
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Re: Composizione relativistica

Messaggioda Shackle » 21/07/2019, 22:23

Perdona la risposta, visto che io ti devo perdonare l'ardire, ma non ho capito niente. O meglio, ho capito che c'è un "relatore" (chi è?) , e che fai dei calcoli mischiando velocità e fattori ( di Lorentz, suppongo...) in maniera poco chiara .

mainlinexile ha scritto:Perdona l'ardire, ma il punto preciso che non torna da un controllo incrociato è la velocità di $ B $ rilevata a bordo e col tempo locale di $ A $, che non può essere 0,4c, se al cronometro risulta 0,11c più veloce per l'osservatore terrestre.


Nel tuo primo post , hai scritto :

Un'astronave A viaggia a V=0,8c rispetto ad un osservatore sulla terra.
A bordo dell'astronave A, si scorge una seconda astronave B che la supera a U'=0,4c (quindi con direzione e verso identici).


da questo , io desumo che : $v_(AT) = 0.8c $ e $v_(BA) = U' = 0.4c$ , con chiaro significato dei pedici . Questo lo hai scritto tu all'inizio , e significa che a bordo di A hanno messo su un sistema per rilevare la velocità di B , che passa di fianco ad A , e la velocità rilevata vale , ripeto : $v_(BA) = U' = 0.4c$ . Questi sono i dati che hai fornito . E allora ti rispondo che la composizione relativistica di queste velocità dà luogo a :

$ v_(BT) = (0.8+0.4)/ (1+0.8*0.4) c = 0.91c$

questa è la velocità relativa di B rispetto a T , osservatore terrestre. Da qui, non si scappa. Adesso te ne vieni col dire (se ho ben capito...) che " la velocità di $B$ rilevata a bordo e col tempo locale di $ A $, non può essere 0,4c, se al cronometro risulta 0,11c più veloce per l'osservatore terrestre" .

Insomma , la velocità di B rilevata da A è o non è $0.4c$ ?

E che cosa sarebbe questo 0.11c ? LA differenza tra 0.91 c , che è $v_(BT) $ (= velocità relativa di B rispetto a T ) , e la velocità $v_(AT) = 0.8c $ (= velocità relativa di A rispetto a T) . E che vuol dire ? L'ho già detto in questo post, che fa parte di una discussione bloccata . Ripeto il concetto. L'osservatore terrestre $T$ osserva l'oggetto B che, rispetto a lui , si muove con velocità $v_(BT) = 0.91c $ ; e osserva anche l'oggetto A che , rispetto a lui, si muove con velocità $v_(AT) = 0.8c$, nello stesso verso di B . Allora , T può dire che la rapidità con cui diminuisce la distanza tra B ed A è , rispetto a lui, uguale a $v_(BT) - v_(AT) = (0.91-0.8) c = 0.11c $ .

Ma questa non è la velocità relativa tra i due oggetti.

Date le due velocità di A e di B entrambe rispetto all'osservatore terrestre , la velocità relativa tra loro si calcola sempre con la formula relativistica :

$((0.91-0.8)c)/ (1-0.91*0.8) = (0.11c)/(0.272) = 0.4c $

proprio come c'era da aspettarsi. Quindi, non capisco che cosa stai dicendo.

Il tempo locale di $ A $ ha un fattore di $ 1/(0,6) $, e se la differenza di velocità con tempo coordinato terrestre è di 0,11c, moltiplicandola col fattore ottieni 0,18c.
Lo 0,4c lo suppone il relatore, derivandolo dal calcolo inverso della formula in questione, ma è una misurazione impossibile da ottenere, poichè 0,4 diviso il fattore del tempo locale di $ A $ riconduce a 0,24c. Il che significa che la velocità complessiva nel campo sarebbe 1,04c.


Torno a dire : Lo 0.4c lo hai scritto tu nel primo post. Torno a dire : il fattore di Lorentz puoi lasciarlo fuori dai conti che si fanno quando si esegue una composizione relativistica di velocità , e ti ho spiegato anche il motivo: $gamma$ non scompare, anzi componendo due TL sullo stesso asse ce ne sono due da considerare, nel modo già detto; ma non occorre, la formula di addizione già ne tiene conto . Mischiando il fattore con le velocità, si finisce per non capire , e far capire, più niente . Che senso fisico ha il prodotto $gammav$? Nessuno che io sappia. Quindi quel 0.18c non significa proprio niente.
Torno a chiedere : chi è il relatore? Quanta relatività conosce ? Che giochi vuol fare, dove vuole arrivare? Infine chiedo : esiste un testo di questo esercizio ? È possibile averlo, in maniera integrale ?

Ora ti prego di ascoltarmi, Main , al di là dell'esercizio. Le possibilità sono due : o credi nella relatività, e la accetti con tutte le sue apparentemente strane conseguenze; oppure non ci credi , non la accetti , e allora la rifiuti in blocco. Io non ho capito ancora da quale parte stai.
È vano , tuttavia, cercare di demolire la relatività con esercizietti, paradossi e obiezioni di scarso valore, che dimostrano solo una cosa : non aver capito ; ci vogliono prove assolutamente certe, e importanti, per dire che la relatività è una favola. Ma reputo che sia difficile , o impossibile, trovare queste prove . Anzi, da un centinaio di anni ad oggi le risultanze di tanti esperimenti hanno mostrato l'esatto contrario. Noi non arriveremo mai , almeno nell'immediato futuro, a costruire astronavi in grado di viaggiare nell'universo a velocità paragonabili a $c$ . Poi, in un futuro remoto, chissà ....perciò non stanno qui , in manipolazioni matematiche poco chiare su immaginari viaggi di inesistenti astronavi, le prove che la RR sia fasulla. La matematica della relatività è perfettamente coerente, e prima o poi la mistificazione salta fuori.
Quindi questi "scherzucci di dozzina" ( come diceva il Giusti, se ricordo bene) su astronavi , gemelli, pali nei granai o treni nelle gallerie...sono solo dei divertimenti ingenui, e basta. LE prove vere si trovano nei laboratori dove fisici seri fanno uso della relatività quando fanno esperimenti su particelle elementari, e usano la dinamica relativistica.

Quindi, dichiara da che parte stai; non è una colpa non credere nella relativita . Saresti in ottima compagnia.
Fine del predicozzo.
Ultima modifica di Shackle il 22/07/2019, 22:57, modificato 1 volta in totale.
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Re: Composizione relativistica

Messaggioda mainlinexile » 22/07/2019, 15:34

Personalmente ho sempre sostenuto il principio di relatività.

Ma la definizione di Lorentz, con il suo fattore della dilatazione di frequenza degli impulsi emessi dalla massa (cardinale nelle proprie derivazioni), non mi sembra venga eccepita ed anzi, è ampiamente verificata.
Ora, imporre anche l'accettazione in blocco o lo scarto in toto della relatività mi pare un po' dogmatico.

Comunque il testo dell'esempio è su questo sito di divulgazione, in cui gli autori sono docenti.
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Re: Composizione relativistica

Messaggioda Shackle » 22/07/2019, 16:33

Ho guardato il sito di cui al link, e nel paragrafo sulla composizione delle velocità ho trovato questo :

Immagine

che, mi sembra, sia proprio quello che ho detto : la velocità di B rispetto alla terra è : $v_(BT) = 0.91c$ , valore calcolato con la formula di composizione relativistica. Non ho trovato altre considerazioni del genere di quelle che hai scritto.

Io termino qui, perchè non ho altro da aggiungere.

PS : ho modificato il post precedente , chiarendo il significato di $v_(BT) -v_(AT) = 0.11c $ , che rappresenta la velocità con cui l'osservatore terrestre T vede diminuire la distanza tra B ed A , dal suo unico punto di vista . Ma $0.11c$ non è la velocità relativa di B rispetto ad A .

Saluti .
Ultima modifica di Shackle il 22/07/2019, 23:03, modificato 1 volta in totale.
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Re: Composizione relativistica

Messaggioda Nikikinki » 22/07/2019, 16:40

Sarà un mio limite ma i tuoi (@main) interventi li capisco di rado. È come se volessi estrarre in modo arbitrario alcune regole della logica e basarti solo su esse nelle tue dimostrazioni. Poi questo accanimento contro la relatività può esistere, come ti dissi in un altro post poi chiuso, solo se adduci, come anche dice Shackle, delle prove incontrovertibili della tua tesi. Ma prima ancora di verificare la realtà fisica di ciò che dichiari, qui manca anche la coerenza teorica. Tra l'altro, visto che reputi il fattore gamma inutile, potresti un attimo calcolare come variano le componenti della velocità nel piano ortogonola al moto per il sistema O'? Se applichi la trasformazione di L ti accorgerai che queste componenti non solo non restano invariate ma dipendono esplicitamente dal fattore gamma. Il fatto che esso scompaia lungo l'asse del boost è solo perché il boost ad assi paralleli in sè è un modo di semplificare il problema.

Poi ancora la trasformazione di L generale coinvolge anche delle matrici di rotazione, cosa che si riflette anche sulla trasformazione generale delle velocità dove il fattore gamma resta sempre se non nel limite, appunto, del boost con assi paralleli. Insomma prima di provare a smontare una teoria io credo vada almeno studiata a fondo.
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Re: Composizione relativistica

Messaggioda mainlinexile » 22/07/2019, 18:33

Niki, guarda bene perchè le riflessioni di cui sopra prendono come riferimento certo e sicuramente esatto proprio il fattore gamma. Se è corretto quello, c'è qualcosa che non torna nella composizione relativistica delle velocità. Poi, ognuno trae le conclusioni. Polemizzare contro di me che tra l'altro non ho alcun interesse a smontare alcunchè, di fronte ai dati non so quanto sia utile. Comunque grazie a shackle per la pazienza di averci provato.
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