Trasformata di fourier di |x|^2

Messaggioda Matemagica11 » 07/07/2019, 14:06

Buongiorno! Devo dimostrare che $|x|^2$ in $\mathbb{R}^n$ è una distribuzione temperata e calcolarne la trasformata di Fourier. Che é una distribuzione temperata l'ho fatto vedere, mentre per calcolare la trasformata di Fourier non so come fare... Potete darmi qualche suggerimento?
Grazie mille
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Re: Trasformata di fourier di |x|^2

Messaggioda arnett » 07/07/2019, 19:00

Questo interessa pure a me, se qualcuno passa di qui, perché mi sono reso conto che non lo so fare.

In una dimensione funziona così: $\hat {x^2}= \hat{x x}= i (\hat x)'=- (\hat 1)''=-2\pi\delta''$.

In n dimensioni credo che valga qualcosa del tipo $\mathcal{F}{P(\cdot)u(\cdot)}=P_D\hat u$ ma è solo un'ipotesi, non trovo da nessuna parte questa cosa; se così fosse dovrebbe venire $-(2\pi)^n\Delta\delta$, ma davvero è solo una supposizione.
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Re: Trasformata di fourier di |x|^2

Messaggioda obnoxious » 07/07/2019, 20:09

Dai un'occhiata al primo volume del libro di Gel'fand-Shilov Generalized functions, c'e' una sezione intitolata Fourier Transform of \( r^\lambda \).
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Re: Trasformata di fourier di |x|^2

Messaggioda Matemagica11 » 07/07/2019, 22:07

Grazie mille obnoxious!
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Re: Trasformata di fourier di |x|^2

Messaggioda arnett » 10/07/2019, 09:07

Grazie anche da parte mia, ho trovato risposta anche sulle dispense di analisi funzionale di Acquistapace, che sono un po' più esili.

Il risultato comunque dovrebbe essere $-\Delta \delta$, senza il termine $2\pi$, almeno se si usa il nucleo $\exp(-i \omega\cdot x)$.
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Re: Trasformata di fourier di |x|^2

Messaggioda dissonance » 22/07/2019, 17:49

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