Ogni aperto di $\mathbb{R}$ come unione di intervalli aperti limitati.

[elatan]

Enunciamo prima il seguente Teorema:

Teorema. Ogni insieme aperto $A\subseteq\mathbb{R}$ è unione numerabile di intervalli aperti disgiunti.

Dunque se $A\subseteq\mathbb{R}$ è aperto, allora $$A=\bigcup_{q\in A\cap\mathbb{Q}} I_q,$$ dove $I_q$ è il più grande intervallo aperto contenuto in $A$ che contiene $q$.

Vorrei mostrare il seguente corollario, la cui dimostrazione, dopo alcuni spunti forniti dal testo, l'ho abbozzata io. Poiché non so se sia corretta, sarei contento se qualcuno di voi ci desse un'occhiata.

Corollario. Ogni insieme aperto $A\subseteq\mathbb{R}$ è unione numerabile di intervalli aperti limitati.

Dimostrazione Per ogni $n\in\mathbb{Z}$ consideriamo $$A_n:=A\cap(n,n+2).$$

Domanda intermedia. Gli $A_n$ non sono in generale degli intervalli, giusto?

Notiamo che per ogni $n\in\mathbb{Z}$ l'insieme $A_n$ è limitato, infatti $A_n\subseteq (n, n+2)$; inoltre $A_n$ è un aperto di $\mathbb{R}$ per ogni $n\in\mathbb{Z}$, poiché intersezione finita di aperti di $\mathbb{R}.$

Dunque, per il teorema precedente si ha che $$A_n=\bigcup_{q\in A_n\cap\mathbb{Q}} I_q,$$ dove, a questo punto, gli $I_q$ sono intervalli aperti limitati, perché $A_n$ è limitato.

Claim: $$A=\bigcup_{n\in\mathbb{Z}} A_n=\bigcup_{n\in\mathbb{Z}}\bigg[\bigcup_{q\in A_n\cap\mathbb{Q}} I_q\bigg].$$

Siccome $A_n\subseteq A$ per ogni $n\in\mathbb{Z}$, allora $\bigcup_{n\in\mathbb{Z}} A_n\subseteq A.$

Viceversa, sia $x\in A$. Poiché $A$ è aperto. per il teorema enunciato prima $A=\bigcup_{q\in A\cap\mathbb{Q}} I_q,$ allora $x\in I_{\tilde{q}}$, dove $\tilde{q}\in A\cap\mathbb{Q}$.

D'altra parte, $tilde{q}\in ([\tilde{q}], [\tilde{q}]+2),$ pertanto $\tilde{q}\in ([\tilde{q}]:=n_0, n_0+2)\cap A.$ Allora $\tilde{q}\in A_{n_0}\cap\mathbb{Q}.$

Quindi $x\in I_{\tilde{q}}$ dove $\tilde{q}\in A_{n_0}\cap\mathbb{Q}$, allora $x\in\bigcup_{q\in A_{n_0}\cup\mathbb{Q}} I_q=A_{n_0}$, allora $$x\in\bigcup_{n\in\mathbb{Z}} A_n.$$

Domande finali.

1. La dimostrazione è corretta?

2. Non riesco a vedere la numerabilità dell'unione, cioè l'unione numerabile di un unione numerabile è un'unione numerbile?

PS. Con $[x]$ intendo la parte intera di $x$.

Grazie!

[anto_zoolander]

il primo teorema è falso

Se $A$ è un aperto e ${A_i}_(i inNN)$ una successione di aperti disgiunti e tali che $A=bigcup_(n=1)^(infty)A_n$ allora $A=A_1cupbigcup_(n=2)^(infty)A_n$ e $A_1capbigcup_(n=2)^(infty)A_n=emptyset$

Data la prima uguaglianza $A_1,bigcup_(n=2)^(infty)A_n$ sono sottoinsiemi aperti di $A$ quindi risulterebbe sconnesso.

Significherebbe che tutti gli aperti di $RR$ sono sconnessi

[elatan]

Però gli $\{A_i\}_{i\in\mathbb{N}}$ sono intervalli, e l'unione di intervalli non sempre è un intervallo a meno che non abbiano intersezione non vuota.

[anto_zoolander]

Eh e gli intervalli sono aperti sono aperti di $RR$ quindi in particolare risulta essere unione numerabile di aperti disgiunti.

Il problema è che ogni volta che incolli degli aperti disgiunti ottieni un aperto sconnesso

[elatan]

Gentile anto_zoolander, ti dico la verità non ho argomenti sufficienti per confermare o smentire la tua tesi. La certezza che ho è che questo teorema si trova in qualsiasi libro di Analisi, ora sono andato a vedere anche su un altro libro e l'enunciato è quello quindi non so cosa dirti.

[anto_zoolander]

Hai postato in analisi superiore quindi pensavo avessi qualche nozione di topologia.
Ad ogni modo il tuo libro cosa intende con “numerabile”?

Mi sono permesso di dirti quello che ti ho detto perché quel “ogni insieme aperto” suppone che possa essere anche un intervallo aperto e l’unico modo in cui puoi scriverlo come unione numerabile di aperti disgiunti è quando si ha un unico elemento nell’unione ossia l’intervallo stesso.

Forse sono stato un po’ sgorbutico(?) nel proferirmi in quel modo

Anyway

2. si unione numerabile di unione numerabile è numerabile
1. a me sembra corretta la dimostrazione

[elatan]

No non sei stato sgorbutico (si scrive scorbutico!), tranquillo!

Qualora $A$ sia un intervallo aperto, poiché per costruzione ogni $I_q$ è massimale, $A$ risulterà unione di se stesso tante volte quanti i razionali in $A$, ma questa unione fa sempre $A$, pertanto $A$ è unione disigunta di intervalli aperti.

Io così lo intendo per un solo intervallo.

[anto_zoolander]

@arnett
Infatti volevo capire la definizione di “numerabile” usata, ho scritto proprio quello che hai riportato nel post dopo.

[anto_zoolander]

@arnett

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Potevo usare un’altra parola...
Io non lo dai mai per scontato, sebbene personalmente lo intenda come lo intendi tu.
Però devo togliermi il vizio di partire a duemila

[elatan]

Ma guardate che se avete un intervallo aperto $I$ basta prendere $A_1=I$ e $A_n=\emptyset$ diversamente. In altre parole: nulla vieta che $\cup_{n\ge 2} A_n$ sia vuoto.

Comunque scusate se vi correggo ma si dice sCorbutico

Niente scuse, quando si sbaglia si sbaglia. Grazie!