Dovrei dimostrare che $a>1$ e $forall b in RR$ l'integrale
S=$int_1^(+infty) 1/(x^a(lnx)^b) \ dx$
risulti convergente.Sia
$f(x) = 1/(x^a(lnx)^b). $
Se $a>1\, \b=0 \ to \ f(x) =1/x^a$, quindi, l'integrale $int_1^(+ infty) 1/x^a \ dx$ risulta essere convergente
Se $a>1\,\b>0 $, procedo per sostituzione, cioè
$lnx= t \ to (ln(x))^b=t^b$
da cui
$dx \(1/x) =dt \ to \ x^(a-1)=e^((a-1)t) $
quindi l'integrale diviene $int_0^(+ infty) 1/(e^((a-1)t) t^b) \ dt $
Per $a>1\ qquad forall t ge 0\ qquad e^((a-1)t) ge (a-1)t$, applicando il criterio del confronto su $I=[0,+infty[$, ottengo,
$int_0^(+ infty) 1/(e^((a-1)t) t^b) \ dt \ le\ 1/(a-1) \ int_0^(+infty)1 /(t^(b+1)) \ dt $
quest'ultimo è convergente se $b+1>1 to b>0$
Se $a>1\,\b<0 $, si ha $-b>0$, applicando il criterio del confronto, si ha:
$int_1^(+ infty)(ln(x))^(-b)/(x^a) \ dx le int_1^(+ infty) x^(-b)/x^a\ dx = \ int_1^(+ infty) 1/(x^(a+b)) \ dx $
essendo $a+b>1 leftrightarrow a>1-b>1$, quest'ultima relazione è vera, essendo che $-b>0$.
Infine l'integrale $S$ converge con $a>1$ e $b in RR.$
Va bene ?
Ciao