Un esercizio simpatico di RR

Messaggioda Shackle » 23/07/2019, 07:03

Ho trovato questo simpatico esercizio di RR , dove si vedono all'opera vari concetti.

Due treni A e B , entrambi di lunghezza propria $L$ , viaggiano su binari paralleli con velocità , rispettivamente, uguali a $v_A = 4/5c $ e $v_B = 3/5c $ . Sulla banchina c'è un osservatore $C$ . Il treno A , che è più veloce , parte dopo B , ma a poco a poco guadagna terreno , finchè raggiunge e sorpassa B .
Con la parola "sorpasso" si intende tutto ciò che accade tra questi due eventi :

1) il muso di A giunge al traverso della coda di B
2) la coda di A giunge al traverso del muso di B

Si chiede di determinare quanto tempo, secondo C , occorre affinché avvenga il sorpasso detto, e quanto dura invece per B e per A.inoltre, trovare la velocità con cui , secondo C, il treno A marcia rispetto a B , e la velocità relativa tra A e B.
Qualcuno vuole provarci, prima che metta la soluzione ?

Vi aiuto: ci sono due fattori di Lorentz da calcolare. Quindi i tempi del sorpasso sono diversi per tutti e tre. Le lunghezze di A e B appaiono contratte a C.

Forza, pelandroni, datevi da fare :-D !
Ultima modifica di Shackle il 23/07/2019, 21:24, modificato 1 volta in totale.
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Messaggioda Sergeant Elias » 23/07/2019, 21:24

Raccolgo il guanto di sfida. :-)

Shackle ha scritto:Si chiede di determinare quanto tempo, secondo C, occorre affinché avvenga il sorpasso detto ...

Passo 1

$[t=0] ^^ [x_(m u s o A)=0] ^^ [x_(c o d a B)=0] rarr [x_(coda A)=4/5ct-3/5L] ^^ [x_(m u s o B)=3/5ct+4/5L]$

Passo 2

$[x_(coda A)=x_(m u s o B)] rarr [4/5ct-3/5L=3/5ct+4/5L] rarr [t=(7L)/c]$
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Re: Un esercizio simpatico di RR

Messaggioda Shackle » 23/07/2019, 21:46

Ottimo, Sergeant Elias! :smt023 :smt023 :smt023

Tuttavia , si può arrivare allo stesso risultato con considerazioni più semplici, fermo restando che la tua soluzione è ineccepibile.

Siccome $v_A = 0.8c$ e $v_B = 0.6c$ , i due fattori di Lorentz sono :

$gamma_A = (1-0.8^2)^(-1/2) = 5/3 = 1.667$

$gamma_B= (1-0.6^2)^(-1/2) = 5/4=1.25$

Perciò, rispetto all'osservatore fisso $C$ le lunghezze dei treni sono contratte, e valgono rispettivamente :

$L_(cA) = 3/5L $ , e $L_(cB) = 4/5L $

Che cosa implica la definizione di "sorpasso" data nel messaggio precedente ? Che , rispetto all'osservatore di terra $C$ , la "lunghezza del sorpasso" equivale alla somma delle due lunghezze contratte dei treni :

$L_s = 3/5L + 4/5L = 7/5L $

Infatti, dapprima il muso di A descrive tutta la lunghezza contratta di B, ma poi, quando i musi sono affiancati, possiamo cambiare prospettiva e dire che il muso di B descrive tutta la lunghezza contratta di A.

Siccome $C$ è un osservatore unico ( più volte ho richiamato questo concetto , ad esempio qui ) , è lecito (anzi, cosí si deve fare e non diversamente!) dire che rispetto a $C$ la velocità con cui il treno $A$ raggiunge e sorpassa il treno $B$ è data semplicemente dalla differenza tra le velocità di $A$ e di $B$ rispetto a $C$ , e quindi la velocità a cui avviene il sorpasso vale :

$v_s = v_A - v_B = 4/5c - 3/5c = c/5$

e con questo, ho risposto già alla domanda: "quanto vale la velocità con cui, secondo C, il treno A marcia rispetto a B?"

Allora , rispetto a $C$ , la durata del sorpasso è data da : $t_s = L_s/v_s = (7/5L)/(c/5) = (7L)/c $
)
che naturalmente coincide col tuo risultato . Mi rendo conto che basta un diagramma di minkowski con due strisce di universo che si intersecano, e le considerazioni sulle lunghezze contratte sono implicite nelle quantità che hai scritto nelle parentesi quadre, ma forse è più opportuno chiarirne il senso.
Adesso , però , ti tocca andare avanti, e rispondere alle altre domande, ma non è un problema...! Ti avviso che questo problema ha anche un seguito... :wink:
Ultima modifica di Shackle il 24/07/2019, 18:00, modificato 1 volta in totale.
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Messaggioda Sergeant Elias » 24/07/2019, 13:53

Shackle ha scritto:... ti tocca andare avanti ...

Appena possibile ci provo. :-)
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Re: Un esercizio simpatico di RR

Messaggioda Shackle » 25/07/2019, 20:52

Continuo io.

LA velocità relativa tra A e B si trova con la composizione relativistica : $v_(AB) = (v_A -v_B)/(1-(v_Av_B)/c^2) = 5/13c$

naturalmente vale per entrambi i treni , salvo un cambio di verso. A questa velocità relativa, corrisponde un fattore di Lorentz $gamma = 13/12$

Vediamo ora il punto di vista di A , che considera se stesso in quiete, quindi di lunghezza $L$ , e vede B, in moto rispetto a lui con la velocità relativa anzidetta, contratto , quindi di lunghezza $L_(c,B) = 12/13L$ .

La lunghezza del sorpasso, valutata da $A$ , è uguale alla somma della lunghezza propria $L$ e della lunghezza contratta di $B$ :

$L_(s,A) = L_A + L_(c,B) = L + 12/13L = 25/13L $

infatti, bisogna immaginare che il muso del treno A si sposti parallelamente a B contratto, a partire dalla coda di B fino alla testa; quindi questo primo pezzo è la lunghezza contratta di B . Poi , è il muso di B che , nella prospettiva di A , deve spostarsi all'indietro per tutta la lunghezza propria di A stesso , da cui la somma prima detta .

Nota la lunghezza del sorpasso secondo A, è sufficiente dividerla per la velocità relativa , onde ottenere il tempo del sorpasso valutato da A :

$t_(s,A) = 25/13L * 13/(5c) = 5L/c$

La situazione è perfettamente simmetrica, anche per B il tempo occorrente perché A lo sorpassi è $5L/c$ . Nel primo post avevo sbagliato, dicendo che avremmo avuto tre tempi diversi. In realtà , quella che conta è la velocità relativa tra A e B , che si può ottenere anche con valori diversi delle velocità rispetto all'osservatore fisso C .

Questo problema ha ulteriori sviluppi, ma mi fermo qui, fa troppo caldo... :?
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