ket e spin 3/2

Messaggioda Silence » 10/08/2019, 23:51

Buonasera, ho qui un problema che non sono sicuro di come impostare (il problema principale è che sono ben più avvezzo allo spin 1/2, non so bene come gestire questo).

Sia lo stato quantistico di una particella definito dal ket $|s, m_s>$. Considerando $s=3/2$, rappresentare i vettori di base associati agli autostati della componente z dello spin e del vettore che rappresenta lo stato più generico espresso su tale base.

Ora... le domande sono diverse, ma penso che risolvere l'esercizio le chiarirà tutte. In primo luogo, se il ket è quello lì, non significa che "i" ket sono 4, a seconda di del numero quantico magnetico? Posso trattarli come funzioni d'onda di un pacchetto discreto? Una cosa del tipo:

$chi=Achi_1+Bchi_1+Cchi_3+Dchi_4$ (limitandomi solo allo spin), rispettivamente con $m_s=3/2, 1/2, -1/2, -3/2$

Grazie!
Silence
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Re: ket e spin 3/2

Messaggioda Nikikinki » 11/08/2019, 17:39

Sì lo spazio ha dimensione 4 naturalmente. E sì, il vettore generico sarà una combinazione lineare dei vettori di base. Comunque l'esercizio mi pare abbastanza scialbo, forse ti sei fatto un attimo impensierire dallo spin 3/2. Si usa quasi sempre 1/2 o 1 poiché elettroni , protoni e neutroni hanno spin 1/2 (quindi praticamente tutta la materia atomica) ed i fotoni spin 1 (quindi la radiazione). Ma ci sono tante particelle con spin diversi che girano per l'universo.
Insomma praticamente ti sta chiedendo gli autovettori dello spin 3/2 lungo z, quantizzato lungo z.
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Re: ket e spin 3/2

Messaggioda Silence » 12/08/2019, 00:37

Eccoci, grazie per la risposta. Sì, fermandomi qui l'esercizio sembra piuttosto insipido, ma mi sono limitato alla prima domanda per assicurarmi di avere le idee chiare. Se va bene, riporterei il resto col mio tentativo di soluzione perchè ci sono un paio di altre cose su cui sono incerto.

Dunque, ho $chi=Achi_1+Bchi_1+Cchi_3+Dchi_4$

Siccome il problema non dà alcuna indicazione riguardo i coefficienti, suppongo di poter assumere equiprobabilità? Dunque $A=B=C=D=1/2$

E quindi (siccome poi chiede anche le possibili misure di $hatS_z, hatS^2$), so che

$hatS^2=s(s+1)barh^2=15/2$
$hatS_z=m_sbarh=+-barh/2, +-3/2barh$ le cui probabilità sono i moduli quadri dei coefficienti di cui sopra.

Le rappresentazioni matriciali sono 4x4 diagonali con gli autovalori come unici elementi non nulli. Ora, però, probabilmente la domanda è banale, ma come passo dagli autovalori agli autovettori? Perchè con spin a 3/2 non posso usare le matrici di Pauli...

Ancora grazie
Silence
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Re: ket e spin 3/2

Messaggioda Nikikinki » 12/08/2019, 06:51

Silence ha scritto:

Siccome il problema non dà alcuna indicazione riguardo i coefficienti, suppongo di poter assumere equiprobabilità? Dunque $A=B=C=D=1/2$



Se il problema non ti dà informazioni, non puoi decidere tu che sono equiprobabili. Ci devi lasciare i coefficienti, tanto che ti chiede il vettore generico. Se sono definiti sia le coordinate che la base non è più generico, è specifico.

Silence ha scritto:

E quindi (siccome poi chiede anche le possibili misure di $hatS_z, hatS^2$), so che

$hatS^2=s(s+1)barh^2=15/2$
$hatS_z=m_sbarh=+-barh/2, +-3/2barh$ le cui probabilità sono i moduli quadri dei coefficienti di cui sopra.



Nella misura di $S^2$ hai 15/4, ma solo errore di conto, l'hai scritta bene.
Inoltre ti chiede anche le probabilità delle misure lungo z? Stando a quanto detto prima non può chiedertele perché sono indeterminate, a meno che non ci siano altre indicazioni.

Silence ha scritto:

Le rappresentazioni matriciali sono 4x4 diagonali con gli autovalori come unici elementi non nulli. Ora, però, probabilmente la domanda è banale, ma come passo dagli autovalori agli autovettori? Perchè con spin a 3/2 non posso usare le matrici di Pauli...

Ancora grazie


A te interessa la matrice 4X4 di $S_z$. In pratica hai giatdetto come deve essere. La scriviamo? :)
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Re: ket e spin 3/2

Messaggioda Silence » 12/08/2019, 18:18

Allora, riguardo alle probabilità non dice niente, il testo è questo: "Sia lo stato quantistico di una particella rappresentabile dal ket $|s, m_s>$ e gli operatori da matrici di dimensioni finite. Si consideri il caso $s=3/2$"

Tempo fa ero incappato in un altro esercizio che usava il postulato di equiprobabilità a priori, che è il motivo per cui ho fatto la mia assunzione qui. A questo punto immagino di dover semplicemente dire che le rispettive probabilità sono $|A|^2, |B|^2, |C|^2, |D|^2$.

Per quanto riguarda la matrice scriverei così:

$hatS_z=barh/2( ( 3/2 , , , ),( , 1/2 , , ),( , , -1/2 , ),( , , , -3/2 ) ) $

con base $( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) , ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) , ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) , ( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) $

Sono questi gli autovettori? Perché che io sappia sono quelli che trasformati dall'operatore restituiscono l'autovalore, e in effetti se faccio agire la matrice sul primo vettore ottengo il primo autovalore, ecc. Ma questo significa che gli autovettori sono sempre "versori"?

P.S.: chiedo scusa per l'errore di conto :oops:
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Re: ket e spin 3/2

Messaggioda Nikikinki » 12/08/2019, 18:38

Sì la matrice è quella (con un 1/2 di troppo, se l'hai raccolto fuori non lo devi rimettere dentro).

Gli autovettori non sono necessariamente versori, ma è sempre possibile normalizzarli ed essi restano autovettori. In genere si fa a prescindere in mq per avere poi stati già normalizzati.
Naturalmente una matrice diagonale avrà come possibile base la base canonica, quindi non stupisce che ritrovi quella di $R^4$ così come lo spin 1/2 aveva quella di $R^2$ o spin 1 quella di $R^3$ (parliamo sempre dello spin lungo z, asse di quantizzazione ovviamente.

L'equiprobabilitá a priori è un concetto figlio della meccanica statistica. Non è che non abbia senso in mq ma va preso un po'più con le pinze. Se il problema ti chiede espressamente di stimare le probabilità ed hai la particella libera con spin allora è ragionevole, ma se non te lo chiede non lo fare. Anche perché ora come noti se associ quelle probabilità con questi autovettori non hai un vettore generico ma il vettore specifico,come dicevo, $(1/2,1/2,1/2,1/2)$
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Re: ket e spin 3/2

Messaggioda Silence » 13/08/2019, 00:48

Ma quindi riprendendo la prima domanda: "scrivere una rappresentazione dei vettori di base associati agli autostati della componente z dello spin e del vettore che rappresenta lo stato più generico espresso su tale base".

Si tratta dei 4 versori (che sarebbero gli stessi anche perr il modulo quadro dello spin), dunque?

Poi rimane l'ultima domanda a cui allego il mio ragionamento: "trovare il minimo valore delle incertezze sulla componente x e y dello spin nello stato combinazione lineare paritetica degli autostati di $hatS_z$ con autovalori positivi"

Se ho ben capito la richiesta, lo stato da considerare è la prima metà di quello scritto sopra. Quel paritetica significa equiprobabilità (?) dunque avrei $chi=1/sqrt2(chi_1+chi_2)$

Le misure di $hatS_x, hatS_y$ sono le stesse di z, e quindi mi calcolo il valore atteso di entrambi ($<chi'|S_(x,y)|chi>$) e poi le incertezze ($sqrt(<S_(x,y)^2> - <S_(x,y)>^2)$)

Grazie mille !
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Re: ket e spin 3/2

Messaggioda Nikikinki » 13/08/2019, 08:40

Silence ha scritto:Ma quindi riprendendo la prima domanda: "scrivere una rappresentazione dei vettori di base associati agli autostati della componente z dello spin e del vettore che rappresenta lo stato più generico espresso su tale base".

Si tratta dei 4 versori (che sarebbero gli stessi anche perr il modulo quadro dello spin), dunque?


Certo. Inoltre $S^2$ ed $S_z$ commutano, quindi il fatto che condividano una base di autostati è ovvio, anzi ci fa piacere averlo verificato.


Silence ha scritto:Poi rimane l'ultima domanda a cui allego il mio ragionamento: "trovare il minimo valore delle incertezze sulla componente x e y dello spin nello stato combinazione lineare paritetica degli autostati di $hatS_z$ con autovalori positivi"

Se ho ben capito la richiesta, lo stato da considerare è la prima metà di quello scritto sopra. Quel paritetica significa equiprobabilità (?) dunque avrei $chi=1/sqrt2(chi_1+chi_2)$


Mah non ho mai sentito il termine paritetico in ambito quantistico, ma sì dovrebbe significare equiprobabile in questo contesto. Quindi lo stato sarebbe proprio quello che hai scritto. Poi non ho capito bene perché scandisce "il minimo", comunque vedremo alla fine.

Silence ha scritto:Le misure di $hatS_x, hatS_y$ sono le stesse di z, e quindi mi calcolo il valore atteso di entrambi ($<chi'|S_(x,y)|chi>$) e poi le incertezze ($sqrt(<S_(x,y)^2> - <S_(x,y)>^2)$)


Abbiamo già parlato di questa cosa tempo fa, quindi fai attenzione nel calcolo perché già quella frase "le misure sono le stesse di z" non è di buono auspicio. Ti ricordo che le varie proiezioni di spin non commutano tra loro. Inoltre la rappresentazione matriciale di $S_x$ ed $S_y$ non è diagonale (tra l'altro sicuramente non lo è proprio per la non commutatività), come non sono diagonali tutte e tre le matrici di Pauli. Te le devi calcolare, usando l'algebra degli operatori di salita e discesa.
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Re: ket e spin 3/2

Messaggioda Silence » 13/08/2019, 19:52

Chiedo scusa, ma penso che il problema sia più di forma che di sostanza. Ricordo bene quel che mi avevi spiegato, purtroppo in testa mi si è incisa quella frase perché la ritrovo spesso in esercizi ed esempi vari. Allego un esempio di un altro esercizio :


Immagine


Mi rendo conto che questo significa "se all'inizio, invece che scegliere z, avessimo scelto come asse x o y [...]", e non che posso misurarle tutte e tre arbitrariamente. Mi si è semplicemente inchiodata in testa una risposta meccanica :oops:

Prima di passare agli operatori di salita/discesa, se possibile avrei bisogno di una conferma: le matrici di Pauli sono implicabili in uno spazio di Hillbert bidimensionale generico? Pur avendo $s=3/2$ sto però considerando solo gli autovalori positivi, e dunque la base è a due dimensioni. Posso dunque usarle, o sono esclusive dei fermioni? Onestamente sospetto di no, perché a occhio $hatS_z!=barh/2sigma_z$.
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Re: ket e spin 3/2

Messaggioda Nikikinki » 14/08/2019, 09:36

Come preferisci, basta che ti sia chiaro quello che stai dicendo e lo traduci bene in formule :-)

Uhm no non credo che tu possa usare le matrici di Pauli anche se lo spazio è bidimensionale. Altrimenti non ci sarebbe nessuna differenza tra lo spazio generato dai primi due autovettori e quello tra il primo e il terzo, primo e quarto, etc... e questa differenza invece in generale esiste. Comunque per tagliare la testa al toro ti conviene calcolarti le matrici complete, tanto la maggior parte dei termini saranno nulli quindi dovrebbe essere semplice.
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