$ { ( y'=|y|+y ),( y_(x_0)=a ):} $
Nel testo dell'esercizio viene richiesto di discutere prima l'esistenza e unicità locale, poi quella globale, senza specificare altro.
- Per il teorema di Peano si può dire subito che $ EE $ soluzione in un intorno $ I(x_0) $ , in quanto la funzione rispetta le condizioni richieste, in particolare è continua e definita in un aperto $ Asub RR^2 $.
- Per quanto riguarda l'unicità, applicando il teorema per come enunciato nel manuale di riferimento (Ferrario, Terracini) si richiede che $ f=f(x,y) $ sia continua e di classe $ C^1 $. Quindi $ (partialf)/(partial y) = sign(y)+1 $ che è costante per $ a != 0 $. Quindi con $ a != 0 $, $ EE! $ una soluzione del PDC in un $ I(x_0) $, $ forall x_0 in RR $.
- Per l'esistenza e unicità in grande devo avere che la $ f=f(x,y) $ e le sue derivate parziali rispetto a y siano continue in $ I xx RR $, inoltre queste ultime devono essere anche limitate. Sempre considerando $ a != 0 $ queste condizioni sono rispettate (?). Quindi $ EE! $ una soluzione globale del PDC in un qualsiasi intervallo $ I forall x_0 in RR $.
Di quest'ultima affermazione non sono per niente sicuro. Ho letto e riletto tutte le formulazioni possibili del teorema, credevo di averle comprese, ma evidentemente ho ancora qualche dubbio. In particolare a me pare impossibile che esista una soluzione globale in questo caso, anche perchè risolvendo l'equazione differenziale trovo che:
- $ y>0 rArr y(x)=e^(2x+c) $
- $ y<0 rArr y(x)=c $
La prima non mi sembra compatibile con l'esistenza globale. Qualche consiglio? Errori? Orrori? Ringrazio in anticipo chi mi aiuterà.
Marco