mi hanno chiesto una mano su una dimostrazione relativa alla misurabilità dell'unione di due insiemi misurabili. La mia memoria, purtroppo, fa cilecca ed essendo anche fuori casa non ho la possibilità di controllare sui miei libri. Così, per divertimento, ho tentato di ricostruire la dimostrazione da solo.
Teorema
Siano $E_1, E_2\subset\mathbb{R}^{N}$ due insiemi Lebesgue-misurabili, allora $E_1\cupE_2$ è Lebesgue-misurabile.
Prima di proporre la dimostrazione, fornisco la definizione di insieme misurabile (alla Caratheodory).
Un insieme $E\subset\mathbb{R}^{N}$ è misurabile se e solo se per ogni $A\subset\mathbb{R}^{N}$ è vera l'uguaglianza:
$m^{\star}(A)=m^\star(A\cap E)+m^\star(A\cap E^{c})$
Dimostrazione (certamente buggata).
In buona sostanza devo dimostrare che per ogni $A\subset\mathbb{R}^{N}$
$m^{\star}(A)=m^{\star}(A\cap(E_1\cup E_2))+m^{\star}(A\cap(E_1\cup E_2)^{c})$
dove $m^{\star}(A)$ è la misura esterna di $A$.
Ho osservato che $A=A\cap[(E_1\cup E_2)\cup (E_1\cupE_2)^{c}]=[A\cap (E_1\cup E_2)]\cup[A\cap (E_1\cup E_2)^{c}]$, per cui, grazie alla subadditività di $m^{\star}$
$m^{\star}(A)\le m^{\star}(A\cap(E_1\cup E_2))+m^{\star}(A\cap(E_1\cupE_2)^{c})$
D'altra parte $A\cap(E_1\cup E_2)\subset A\cap E_1$ e $A\cap(E_1\cup E_2)^{c}\subset A\cap E_1^c$ e per la monotonia della misura esterna
$m^{\star}(A\cap (E_1\cup E_2))+m^{\star}(A\cap(E_1\cup E_2)^{c})\le m^{\star}(A\cap E_1)+m^{\star}(A\capE_1^{c})=m^{\star}(A)$
dove l'ultima uguaglianza si giustifica sfruttando la misurabilità di $E_1$. Collegando le due disuguaglianze concludo che:
$m^{\star}(A)=m^{\star}(A\cap(E_1\cup E_2))+m^{\star}(A\cap(E_1\cup E_2)^{c})$
(ho dimostrato la misurabilità di $E_1\cup E_2$?)
Il mio problema con questa dimostrazione (che ripeto: è farina del mio sacco, quindi inaffidabile!) risiede nel fatto che non uso l'ipotesi sulla misurabilità di $E_2$. Cosa ho sbagliato?
Potreste aiutarmi a ricostruire una dimostrazione degna di questo nome, per favore? Grazie mille.
Grazie mille, sei stato gentilissimo e molto chiaro!