Integrali con errore 10^-2

Messaggioda maxira » 11/08/2019, 22:21

E' il mio primo esercizio di questo tipo, quindi volevo chiedere pareri.


"Calcolare con errore inferiore a 0.01 l'integrale:

$ int_(0)^(ln2) arctan((e^-x)/3) dx $ "



$ e^-x=1-x+x^2/2-x^3/6+o(x^3) $

$ e^-x/3=1/3-x/3+x^2/6-x^3/18+o(x^3) $

$ arctan(x)=x+o(x) $

$ arctan(e^-x/3)=1/3-x/3+x^2/6-x^3/18+o(x^3) $

cioè $ sum_(k=0) ((-1)^nx^n)/(3n!) $

Quindi:

$ int_(0)^(ln2) sum_(k=0) ((-1)^nx^n)/(3n!) dx = $

$ sum_(k=0) (-1)^n/(3n!) int_(0)^(ln2) x^n dx = $

$ sum_(k=0) (-1)^n/(3n!) [ln2^(n+1)/(n+1)] = $

Comincio a sostituire i valori di k fino al termine minore di $ 10^-2 $.

$ = ln2/3-(ln2)^2/6 $

La soluzione è $ (2ln2-(ln2)^2)/6 $ ~ $ 0.15 $
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Messaggioda Sergeant Elias » 12/08/2019, 15:14

Lo sviluppo in serie sottostante:

$arctanx=x+o(x)$

vale per $x rarr 0$, più in generale, quando l'argomento dell'arcotangente tende a $0$. Nel tuo caso, poiché:

$lim_(x->0)e^(-x)/3=1/3$

l'argomento dell'arcotangente tende a $1/3$. Insomma, nel tuo caso quello sviluppo in serie è inapplicabile.

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Re: Integrali con errore 10^-2

Messaggioda maxira » 12/08/2019, 19:18

Ho capito.
Quindi come si risolve in questi casi?
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Re: Integrali con errore 10^-2

Messaggioda anto_zoolander » 13/08/2019, 06:04

L’approssimazione non è corretta perché se provi con un calcolatore ti viene maggiore di $10^(-2)$ e tra i tuoi calcoli non è presente alcuna stima dell’errore commesso.

se vuoi un modo che non utilizzi Taylor un'idea può essere la seguente

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
considera la funzione $g(x)=e^(-x)/3-arctan(e^(-x)/3)$ in $[0,log(2)]$

$g'(x)=-e^(-3x)/(3(9+e^(-2x)))$

è chiaro che si tratta di una funzione decrescente su tutto $[0,log(2)]$ quindi avrà massimo assoluto in $0$ e minimo assoluto in $log(2)$

quindi $g(log(2))leqg(x)leqg(0)=> 1/6-arctan(1/6)leqg(x)leq1/3-arctan(1/3)$

integrando si ottiene $log(2)(1/6-arctan(1/6))leqint_(0)^(log(2))g(x)dxleqlog(2)(1/3-arctan(1/3))$

ovvero l'errore che si commette nell'approssimare l'integrale di partenza con $int_(0)^(log(2))e^(-x)/3dx$ è compreso tra questi due valori; in particolare l'errore massimo commesso è comunque minore di $0.01$

quindi si può approssimare con $-e^(-x)/3|_(0)^(log(2))=-1/6+1/3=1/6 = 0.1overline(6)$

di fatto se poi fai la prova con un calcolatore ottieni che $|int_(0)^(log(2))arctan(e^(-x)/3)dx-1/6|approx0.00345$

il motivo di questo è le due funzioni sono molto vicine in un intorno di input vicini a $0$.
In questo caso l'utilizzo di Taylor era meno agevole di queste considerazioni.

ad ogni modo per questi problemi, se vuoi usare Taylor, ti conviene utilizzare il resto di Lagrange.

Il motivo è dato dal fatto che per una funzione $f in C^(n+1)$, all'interno di un certo intervallo $(a,b)$ ,

$abs(f(x)-sum_(k=0)^(n)(f^((k))(x_0))/(n!)(x-x_0)^n)leqnorm(f^((n+1)))_(infty)*abs(x-x_0)^(n+1)/((n+1)!)$

da cui per le proprietà dell'integrale

$abs(int_(a)^(b)f(x)dx-int_(a)^(b)sum_(k=0)^(n)(f^((k))(x_0))/(n!)(x-x_0)^ndx)leqnorm(f^((n+1)))_(infty)/((n+1)!)*int_(a)^(b)abs(x-x_0)^(n+1)dx$

con questo puoi stimare "tranquillamente" l'errore da commettere scegliendo opportunamente $x_0$ e $n$

puoi notare che se nel tuo caso prendi $n=1$ e $x_0=1/2$ l'errore commesso ti viene $leq0.00529$
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Re: Integrali con errore 10^-2

Messaggioda maxira » 13/08/2019, 12:56

Provo a svolgerlo con Lagrange.

$ f(x)= f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2 + f'''(c)x^3/3 $

con $ c in [a,b] $

Calcolo $ f'(x)= (-e^-x)/(3+(e^(-2x))/3) $;

$ f''(x)=(3e^-x-(e^(-3x))/3 )/(9(1+(e^(-2x))/9)^2) $

$ f'''(x)= -2/3 (e^(-3c)+9/2e^(-c) +2/e^(-5c))/((1+(e^(-2c))/9)^3)$

Quindi:

$ f(x)= arctan(1/3) - 3/10 x + 6/50 x^2 - 2/9 (e^(-3c)+9/2e^(-c) +2/e^(-5c))/((1+(e^(-2c))/9)^3) x^3 $

Il risultato è:

$ int_(0)^(ln2) arctan(1/3) - 3/10 x + 6/50 x^2 dx = arctan(1/3) - 3/20 (ln2)^2 + 6/150 (ln2)^3 $

Mentre l'errore:

$ - 2/9 (e^(-3c)+9/2e^(-c) +2/e^(-5c))/((1+(e^(-2c))/9)^3) int_(0)^(ln2) x^3 dx = - 1/18 (e^(-3c)+9/2e^(-c) +2/e^(-5c))/((1+(e^(-2c))/9)^3) (ln2)^4 $
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Re: Integrali con errore 10^-2

Messaggioda anto_zoolander » 14/08/2019, 05:01

La derivata che hai calcolato l'hai verificata? perché mi risulta sbagliata, inoltre non è vero che esiste $xi in (a,b)$ per cui l'uguaglianza

$f(x)=sum_(n=0)^(2)(f^((n))(x_0))/(n!)(x-x_0)^n+(f^((3))(xi))/(3!)(x-x_0)^3$

valga per ogni $x in (a,b)$; il valore $xi in(a,b)$ dipende sia da $x_0$ sia da $x$

Non a caso ho messo quel $norm(f^(n+1))_(infty):= s u p_(xi in (a,b))abs(f^(n+1)(xi))$

per decidere una buona approssimazione bisogna lavorare sulla quantità

$p_n(t)=norm(f^((n+1)))_(infty)/((n+1)!)int_(a)^(b)abs(x-t)^(n+1)dx$

è chiaro che puoi cercare di minimizzare la coppia (n,t) ma è sufficiente capire anche con cosa si ha a che fare; in questo caso le derivate diventano noiose(da calcolare) già dal terzo ordine in poi. Per esercitarti ti conviene partire da $n=1$ per svolgere qualche conto

$ p_(1)(t)=norm(f^((2)))_(infty)/2int_(0)^(log(2))(x-t)^2dt=norm(f^((2)))_(infty)/6[(log(2)-t)^3+t^3]=norm(f^((2)))_(infty)/6(log^3(2)-3tlog^2(2)+3t^2log(2)) $


bisogna minimizzare $p_1$ in modo tale da trovare il centro di sviluppo migliore

è chiaro che essendo una parabola il punto di minimo è $t=(log(2))/2$

mentre il minimo dell'integrale è $(log^3(2))/4$

la derivata seconda è una funzione decrescente quindi $norm(f^((2)))_(infty)=f^((2))(0)=(24)/(10^2)$

pertanto l'errore commesso $leqp_1(t)=(24/10^2)*1/6*(log^3(2))/4=(log^3(2))/10^2<1/10^2$

di fatto $2<e => log(2)<log(e)=1 => log^3(2)<1 => (log^3(2))/10^2<1/10^2$
in realtà è circa $0.0033$ quindi è parecchio minore di $0.01$

quindi si ha un'ottima approssimazione con

$int_(0)^(log(2))f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)dx=log(2)*arctan(1/(3sqrt2))$

dove $f'(x_0)$ puoi anche non calcolarlo poiché $int_(0)^(log(2))(x-log(2)/2)dx=0$

L'unica cosa calcolosa è data giusto dal dimostrare che $f^((2))(x)$ sia decrescente
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Re: Integrali con errore 10^-2

Messaggioda maxira » 14/08/2019, 18:05

anto_zoolander ha scritto:
è chiaro che essendo una parabola il punto di minimo è $ t=(log(2))/2 $



Da qui non ti seguo più.
Quale parabola?
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Re: Integrali con errore 10^-2

Messaggioda anto_zoolander » 14/08/2019, 19:26

La quantità $y(t)=3t^2log(2)-3tlog^2(2)+log^3(2)$
È una parabola quindi puoi fare la considerazione sul minimo
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Re: Integrali con errore 10^-2

Messaggioda maxira » 16/08/2019, 09:59

E perché voglio valutarla proprio nel punto di minimo?

Per la derivata seconda, perché prendiamo $ xi =0 $ ?
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Re: Integrali con errore 10^-2

Messaggioda anto_zoolander » 16/08/2019, 14:57

Perché minimizzando l’integrale minimizzi anche l’errore commesso nella approssimazione.
Se prendessi un altro centro la stima dell’errore massimo commesso sarebbe maggiore

Il prendere $f^((2))(0)$ è dato dal fatto che la derivata seconda è decrescente quindi l’estremo superiore sta in $xi=0$
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