Integrale doppio polari

Messaggioda maxira » 12/08/2019, 15:18

Ho un dubbio sul dominio di un integrale doppio da risolvere in coordinate polari.

"Sia D il dominio contenuto nel primo quadrante delimitato dalla parabola di equazione $ y=2/3x^2 $, dalla circonferenza di equazione $ x^2 + y^2 =1 $ e dalla retta di equazione $ y = 0 $. Utilizzando le coordinate polari calcolare l'integrale:

$ int int_(D)^() sqrt(x^2+y^2) dx dy $ "



Se non ho capito male, il dominio dovrebbe essere questo:

Immagine

So che:

$ { ( x=rhocostheta ),( y=psentheta ):} $

Quindi devo sostituirle nelle equazioni che rappresentano il dominio.

- $ x^2+y^2=1 rArr rho^2cos^2theta+rho^2sen^2theta=1 rArr rho=1 $

- $ y=0rArr rhosentheta=0 $,

cioè $ rho=0 vv theta=0 $

- $ y=2/3x^2rArr rhosentheta=2/3p^2cos^2thetarArr rho(sentheta-2/3rhocos^2theta)=0rArr rho(2/3sen^2theta +sentheta -2/3)=0 $ ,

cioè $ rho=0 vv 2/3sen^2theta +sentheta -2/3=0 $.

Risolvo la seconda:

$ Delta=1-4(2/3)(-2/3)=25/9 $

$ sentheta=(-1+-5/3)/(4/3)rArr 1/2, -2 $

Prendo solo 1/2 e ho $ theta= pi/6 $.


Posso dire che $ 0<=rho<=1 $, $ 0 <= theta <= pi/6 $?
maxira
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Re: Integrale doppio polari

Messaggioda pilloeffe » 13/08/2019, 02:39

Ciao maxira,

C'è sicuramente un errore qui:
maxira ha scritto: $ \rho(sin\theta-2/3\rhocos^2\theta)=0 \implies \rho(2/3sin^2\theta +sin\theta -2/3)=0 $

Infatti considerando che $cos^2\theta = 1 - sin^2\theta $ si ha:

$ \rho(sin\theta-2/3\rhocos^2\theta)=0 \implies \rho(sin\theta-2/3\rho(1 - sin^2\theta)) = 0 \implies $
$ \rho = 0 \vv 2/3\rho sin^2\theta + sin\theta-2/3\rho = 0 $

Peraltro per ricavare l'angolo sarebbe stato più semplice lavorare in coordinate cartesiane determinando il punto di intersezione fra la circonferenza di equazione $x^2 + y^2 = 1 $ e la parabola di equazione $y = 2/3 x^2 $ da cui $ x^2 + 4/9 x^4 = 1 $: quest'ultima equazione è una biquadratica che nel primo quadrante ha la sola soluzione reale $ x = sqrt{3}/2 \implies y = 1/2 \implies tan\theta = \frac{1/2}{sqrt{3}/2} = sqrt{3}/3 \implies \theta = \pi/6 $

maxira ha scritto:Posso dire che $0 \le \rho \le 1 $, $ 0 \le \theta \le \pi/6 $?

Attenzione perché così facendo consideri solo il settore circolare ignorando la parabola... :wink:
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Re: Integrale doppio polari

Messaggioda maxira » 13/08/2019, 12:08

pilloeffe ha scritto:Attenzione perché così facendo consideri solo il settore circolare ignorando la parabola... :wink:


Immagino, infatti non so come includere anche quella.

pilloeffe ha scritto:$ rho=0 vv 2/3sen^2theta +sentheta -2/3=0 $


Questa come la risolvo? Ottengo solo:

$ Delta=1-4(-2/3rho )(2/3rho )=1+16/9rho ^2 $

$ sentheta=(-1+-sqrt(1+16/9rho ^2))/(4/3rho ) $
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Re: Integrale doppio polari

Messaggioda pilloeffe » 14/08/2019, 02:45

maxira ha scritto:
pilloeffe ha scritto:$ \rho=0 vv 2/3sen^2theta +sentheta -2/3=0 $


Guarda che questo non l'ho scritto io, è ciò che hai scritto tu e che ti ho corretto qui:
pilloeffe ha scritto:$ \rho = 0 \vv 2/3\rho sin^2\theta + sin\theta-2/3\rho = 0 $

maxira ha scritto:Questa come la risolvo?

Non come hai fatto: la devi risolvere rispetto a $\rho $ in modo da avere una $\rho = \rho(\theta) $

Comunque se è obbligatorio risolverlo con le coordinate polari pace, ma sinceramente io l'avrei risolto senza, anche perché il dominio è $x$-semplice, per cui salvo errori si ha:

$ int int_(D) sqrt(x^2+y^2) \text{d}x \text{d}y = \int_0^{sqrt{3}/2} \text{d}x \int_0^{2/3x^2} sqrt(x^2+y^2) \text{d}y + \int_{sqrt{3}/2}^1 \text{d}x \int_0^{sqrt{1 - x^2}} sqrt(x^2+y^2) \text{d}y = $
$ = \int_0^{sqrt{3}/2} \text{d}x [y/2 sqrt(x^2 + y^2) + x^2/2 ln(y + sqrt(x^2 + y^2))]_0^{2/3x^2} + $
$ + \int_{sqrt{3}/2}^1 \text{d}x [y/2 sqrt(x^2 + y^2) + x^2/2 ln(y + sqrt(x^2 + y^2))]_0^{sqrt{1 - x^2}} = $
$ = \int_0^{sqrt{3}/2} [1/3x^2 sqrt(x^2 + 4/9 x^4) + x^2/2 ln(2/3x^2 + sqrt(x^2 + 4/9 x^4)) - x^2/2 ln x] \text{d}x + $
$ + \int_{sqrt{3}/2}^1 [sqrt{1 - x^2}/2 + x^2/2 ln(sqrt{1 - x^2} + 1) - x^2/2 ln x] \text{d}x = $
$ = ... = $
$ = 1/480 (52 sqrt{3} + 15 sqrt{3} ln 3 - 72) + 1/144 [8\pi - 8 - 3\sqrt{3} - 3\sqrt{3} ln(27/8)] = $
$ = (7 sqrt{3})/80 + \pi/18 + 1/16 sqrt{3} ln2 - 1/32 sqrt{3} ln3 - 37/180 ~~ 0,1361 $
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Re: Integrale doppio polari

Messaggioda tommik » 14/08/2019, 08:26

@pilloeffe: a parte il fatto che la soluzione in polari è specificatamente richiesta dal testo, è oggettivamente anche la via più breve.... certo servono alcuni semplici ragionamenti ma probabilmente è proprio ciò che il prof vuole dall'OP. Per questa volta ve li faccio io, sperando che ciò possa servire in futuro.

1) Per il calcolo del dominio di integrazione basta guardare bene la disequazione della parabola1 (ho tralasciato un $rho$ ridondante) trasformata in polari

$sentheta<2/3 rho cos^2 theta$


da cui subito

$rho>(3 sentheta)/(2cos^2theta)$


ora, ricordando che il dominio è all'interno del cerchio centrato nell'origine e di raggio 1 si ottiene subito

$(3sentheta)/(2cos^2theta)<rho<1$


...e da $3sentheta<2cos^2theta$ ottieni subito2 anche $0<theta<pi/6$

2) quindi in definitiva l'integrale da risolvere è questo

$int_((3sentheta)/(2cos^2theta))^1 rho^2drho int_0^(pi/6)d theta$


3) per risolvere l'integrale in questione l'unico "ostacolo" è l'integrale seguente

$int(sen^3theta)/(cos^6 theta)d theta$


....che diventa somma di integrali immediati, una volta posto $costheta=y$

...i conti che hai fatto non li ho controllati ma saranno sicuramente giusti....

:smt039

Note

  1. ricordando che dal testo è evidente che $sentheta>0$ , $costheta>0$
  2. banalmente risolvendo $2sen^2theta+3sentheta-2<0$
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Re: Integrale doppio polari

Messaggioda pilloeffe » 14/08/2019, 11:43

Ciao tommik,
tommik ha scritto:@pilloeffe: a parte il fatto che la soluzione in polari è specificatamente richiesta dal testo, è oggettivamente anche la via più breve.... certo servono alcuni semplici ragionamenti ma probabilmente è proprio ciò che il prof vuole dall'OP.

Beh, qualche indicazione all'OP l'ho fornita, poi l'idea era che ci ragionasse un po' autonomamente... :wink:
Per quanto riguarda la via più breve non lo so, mi risultano comunque integrali brigosi: la soluzione non in coordinate polari che ho postato voleva essere solo un aiuto per confrontare eventualmente il risultato della soluzione tramite la trasformazione in coordinate polari richiesta.
tommik ha scritto:...i conti che hai fatto non li ho controllati ma saranno sicuramente giusti....

Ti ringrazio per la fiducia, ma avendoli fatti in notturna (dai un'occhiata all'ora del post...) dopo una giornata di mare (sott'acqua in apnea, un'altra delle mie passioni...) onestamente non ci metterei la mano sul fuoco... :wink:
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Re: Integrale doppio polari

Messaggioda tommik » 14/08/2019, 11:50

pilloeffe ha scritto:...
Per quanto riguarda la via più breve non lo so, mi risultano comunque integrali brigosi


really??

Forse ho male inteso cosa significhi "brigosi" che ho interpretato come noiosi e lunghi....

ma l'unico integrale da risolvere è questo

$int (sen^3 theta)/(cos^6 theta) d theta$

pongo $costheta=y$ ed ottengo

$int(y^2-1)/y^6 dy=inty^(-4)dy-inty^(-6)dy$

...a me sembrano immediati....

...i conti li lascio all'OP, come pure il metodo di soluzione che più troverà agevole
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