potenziali ritardati

Messaggioda Simone Masini » 13/08/2019, 11:03

potreste spiegarmi il campo generato da una carica in moto con tutti i concetti dei ritardi!?
Simone Masini
New Member
New Member
 
Messaggio: 71 di 80
Iscritto il: 14/10/2017, 06:23

Re: potenziali ritardati

Messaggioda Masaki » 13/08/2019, 20:21

Prendiamola un po' alla larga e consideriamo il moto di un oscillatore armonico unidimensionale:
\begin{equation}
\begin{cases}
\ddot{x}(t) = \omega^2 x(t)\\
x(0)=x_0\\
\dot{x}(0)=x_1\\
\end{cases}
\end{equation}
Tale equazione descrive ad esempio il moto di un corpo puntiforme di massa $m$ attaccato ad una molla (quando viene deformata "poco" dalla sua posizione di equilibrio) di costante elastica $k$. Dalla forma stessa dell'equazione si vede immediatamente che stiamo considerando la reazione della molla $ \prop \ddot{x}(t)$ immediata rispetto al moto della massa $x(t)$, ovvero stiamo approssimando come infinita la velocità di propagazione del segnale di sforzo . Questo tipo di approssimazione è più che ragionevole per piccole scale, ma proviamo a complicare l'esempio precedente considerando una catena di oscillatori armonici con $N$ masse (con $N \to \infty$).

Immagine

In questo caso il moto della massa $i$-esima è:
\begin{equation}
m \frac{d^2 y_i}{dt^2} = -k (y_i - y_{i-1}) +k(y_{i+1} - y_i)
\end{equation}
Nel limite in cui $N \to \infty$, ci si aspetta che le posizioni delle masse si avvicinino sempre di più fino a giungere al continuo (corda elastica), pertanto:
\begin{equation}
y_{i+1}(t) \approx y_i(t) + \frac{y_{i+1}(t)-y_i(t)}{\Delta x} \Delta x
\end{equation}
Sostituendo il tutto nell'equazione precedente e rifacendo lo stesso ragionamento con le derivate, giungiamo all'Equazione delle Onde o di D'Alembert:
\begin{equation}
\frac{\partial^2}{\partial x^2}y(x,t)-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}y(x,t)=0
\end{equation}
dove $v = \frac{k \Delta x^2}{m}$ si dimostra essere la velocità di propagazione dell'onda. Considerando il problema di Cauchy:
\begin{equation}
\begin{cases}
\frac{\partial^2}{\partial x^2}y(x,t)-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}y(x,t)=0\\
y(x,0)=y_0(x)\\
\partial_t y(x,0)=y_1(x)
\end{cases}
\end{equation}
abbiamo che la sua soluzione generale è descritta dalla Formula di D'Alembert:
\begin{equation}
y(x,t)=\frac{1}{2}[y_0(x-vt)+y_0(x+vt)] + \frac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} y_1(\xi)d\xi
\end{equation}
Da questa si vede come le condizioni iniziali impieghino del tempo (cono di influenza è ad ogni $t$ fissato compatto in $\mathbb{R}^2$) per perturbare la posizione della corda elastica a grande distanza in modo non più trascurabile quanto più questa è grande. In un certo senso nasce proprio qui il concetto di ritardo, dalla considerazione che ogni segnale impiega del tempo per propagarsi e per far sentire i suoi effetti.

Immagino ti sia noto che, con il Gauge di Lorenz, si possono riscrivere le equazioni di Maxwell per il potenziale scalare $V$ e per il potenziale vettoriale $\vec{A}$ come 4 equazioni scalari delle onde disaccoppiate:

\begin{equation}
\begin{cases}
\Box_c^2 V(\vec{x},t)= -\frac{\rho(\vec{x},t)}{\varepsilon_0}\\
\Box_c^2 \vec{A}(\vec{x},t)= - \mu_0 \vec{J}(\vec{x},t)\\
\end{cases}
\end{equation}

Siccome l'equazione è la stessa della corda elastica avremo, imponendo condizioni iniziali identicamente nulle, dei segnali che si propagano con velocità $c$ dalla sorgente di carica o corrente che sia1. Per risolvere le equazioni $(7)$ ci calcoliamo la soluzione fondamentale2 $G(\vec{x},t)$ dell'operatore d'onda, ovvero quella distribuzione temperata che presenta la seguente proprietà:
\begin{equation}
\Box_c^2 G(\vec{x},t)= \delta(\vec{x})\delta(t)
\end{equation}
La soluzione di questa equazione è:
\begin{equation}
G(\vec{x},t)= \frac{\theta(t)}{2 \pi c|\vec{x}|}\delta\bigg(c^2 t^2 - |\vec{x}|^2\bigg)=\frac{1}{4 \pi |\vec{x}|}\bigg[\delta\bigg(t - \frac{|\vec{x}|}{c}\bigg) - \delta\bigg(t +\frac{|\vec{x}|}{c}\bigg)\bigg]
\end{equation}
Ora per rispettare il Principio di Causalità è necessario scartare la seconda soluzione perché porterebbe a propagare il segnale "indietro nel tempo" e quindi a mostare effetti senza cause. Nell'ipotesi di sorgenti appartenenti a $D'(\mathbb{R}^{4})$, la soluzione di $(7)$ è sufficiente data da:
\begin{equation}
\begin{aligned}
V(\vec{x},t)&= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 } \int_0^{\infty} \int_{\mathbb{R}^n} \delta\bigg(t -\tau - \frac{|\vec{x}-\vec{\xi}|}{c}\bigg) \frac{\rho(\vec{\xi},\tau)}{|\vec{x}-\vec{\xi}|}d^3 \vec{\xi}d\tau\\
\vec{A}(\vec{x},t)&= \frac{\mu_0}{4 \pi |\vec{x}|} \int_0^{\infty} \int_{\mathbb{R}^n} \delta\bigg(t -\tau - \frac{|\vec{x}-\vec{\xi}|}{c}\bigg) \frac{\vec{J}(\vec{\xi},\tau)}{|\vec{x}-\vec{\xi}|}d^3 \vec{\xi}d\tau
\end{aligned}
\end{equation}
La grandezza $t_r = t - \frac{|\vec{x}-\vec{\xi}|}{c}$ si definisce Tempo Ritardato. Proviamo a darne un' interpretazione: il tempo ritardato è il tempo a cui il sistema, posto in $\vec{\xi}$, aveva le proprietà che io, che sto nel punto $\vec{x}$, sento e misuro in questo instante; alternativamente lo puoi vedere come il tempo a cui si trova il sistema se il segnale viaggiasse istantaneamente. I campi che si ottengono da questi potenziali, prendono il nome di Campi di Jefimenko o Equazioni di Jefimenko (che non sono altro che una generalizzazione della Legge di Coulomb e di Biot-Savart). Il caso speciale in cui le sorgenti di campo non sono estese ma puntiformi, i potenziali $(10)$ prendono il nome di Potenziali di Lienard-Wickert.

Per derivarli, partiamo dai potenziali ritardati, considerando
\begin{equation}
\begin{aligned}
\rho(\vec{x},t)&= q \delta(\vec{\xi}-\vec{x}_s(\tau))\\
\vec{J}(\vec{x},t) &= q \vec{v}_{s}(\tau) \delta(\vec{\xi}-\vec{x}_s(\tau))
\end{aligned}
\end{equation}
dove $\vec{x}_s$ e $\vec{v}_{s}$ sono rispettivamente la posizione e la velocità della sorgente. Derivo esplicitamente il potenziale scalare, per quello vettoriale i conti sono identici; Posto $t'_r = t - \frac{|\vec{x}-\vec{\xi}|}{c}$ e usando il teorema di Tonelli:
\begin{equation}
\begin{aligned}
V(\vec{x},t) &= \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 } \int_{\mathbb{R}^3} \frac{\delta(\vec{\xi}-\vec{x}_s(t'_r))}{|\vec{x}-\vec{\xi}|}d^3 \vec{\xi}\\
&= \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 } \int_{\mathbb{R}^3} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\delta(\vec{\xi}-\vec{x}_s(\tau)) \delta(\tau-t'_r)}{|\vec{x}-\vec{\xi}|}d\tau d^3 \vec{\xi}\\
&=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 } \int_{-\infty}^{\infty} \int_{\mathbb{R}^3} \frac{\delta(\vec{\xi}-\vec{x}_s(\tau)) \delta(\tau-t'_r)}{|\vec{x}-\vec{\xi}|} d^3 \vec{\xi}d\tau\\
&= \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 } \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\delta(\tau-t'_r)}{|\vec{x}-\vec{x}_s(\tau)|} d\tau\\
\end{aligned}
\end{equation}
Sapendo che:
\begin{equation}
\delta(\tau-t'_r)= \frac{\delta(\tau -t_r)}{\frac{\partial}{\partial \tau}(\tau-t'_r)|_{\tau=t_r}}=\frac{\delta(\tau -t_r)}{\frac{\partial}{\partial \tau}\bigg(\tau-\big(t-\frac{|\vec{x}-\vec{x}_s(t'_r)|}{c}\big)\bigg)\bigg|_{\tau=t_r}} = \frac{\delta(\tau -t_r)}{1- \frac{\vec{r}\cdot\vec{v}_s(\tau)}{c}}
\end{equation}
dove $\vec{r} = \frac{\vec{x}-\vec{x}_s(\tau)}{|\vec{x}-\vec{x}_s(\tau)|}$. E' possibile eseguire questo procedimento perché esiste un unico tempo ritardato che corrisponde alle coordinate della particella. Eseguendo l'integrazione si trovano i potenziali di Lienard-Wickert:
\begin{equation}
\begin{aligned}
V(\vec{x},t)&=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 } \frac{1}{|\vec{x}-\vec{x}_s(t_r)| - \frac{\big(\vec{x}-\vec{x}_s(t_r)\big)\cdot\vec{v}_s(t_r)}{c}}\\
\vec{A}(\vec{x},t)&=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 } \frac{\vec{v}_s(t_r)}{|\vec{x}-\vec{x}_s(t_r)| - \frac{\big(\vec{x}-\vec{x}_s(t_r)\big)\cdot\vec{v}_s(t_r)}{c}}
\end{aligned}
\end{equation}

Note

  1. Nel caso elettro/magnetostatico le sorgenti non hanno dipendenza temporale e quindi la soluzione è ragionevolmente indipendente dal tempo. Applicare l'operatore d'onda ad una funzione che non dipende dal tempo è equivalente ad applicarle il Laplaciano e dunque l'equazione di D'Alembert diventa un equazione di Poisson. In realtà non esistono sorgenti accese da sempre e dunque si potrebbe fare un discorso interessante su cosa accade quando viene accesa la sorgente. In tal caso si potrebbe modellizzarla come $\rho(\vec{x},t)=\theta(t)\rho(\vec{x})$ e risolvere un problema di Cauchy Generalizzato che richiede l'uso delle distribuzioni. La soluzione è quella di un problema di elettrostatica in cui è presente un impulso che si propaga nello spazio. In ogni caso per tempi sufficientemente lunghi e per posizioni sufficientemente vicine alla sorgente, il problema è assolutamente riconducibile ad un problema di Elettrostatica
  2. Talvolta detta Funzione di Green
Masaki
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 2 di 10
Iscritto il: 19/08/2018, 20:43

Re: potenziali ritardati

Messaggioda Nikikinki » 14/08/2019, 08:43

I potenziali ritardati sono spiegati ovunque, basta googlare e trovi il mondo. Sarebbe abbastanza inutile fare tutta la trattazione qui quando è fatta meglio su qualsiasi testo di fisica. Anche la semplice wikipedia esprime il tutto in modo chiaro, anche se sintetico https://it.wikipedia.org/wiki/Potenziali_ritardati . Penso sia meglio se ti leggi un po' questi concetti e magari formalizzi un dubbio o una domanda più specifica. Altrimenti temo sarà difficile che avrai risposte.
Nikikinki
 

Re: potenziali ritardati

Messaggioda Masaki » 14/08/2019, 17:03

Nikikinki ha scritto:I potenziali ritardati sono spiegati ovunque. Sarebbe abbastanza inutile fare tutta la trattazione qui quando è fatta meglio su qualsiasi testo di fisica


Giusto per sapere su che libro di Fisica hai trovato i potenziali ritardati fatti così?
Masaki
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 3 di 10
Iscritto il: 19/08/2018, 20:43

Re: potenziali ritardati

Messaggioda Nikikinki » 17/08/2019, 04:54

Così come? :) Non ho scritto niente sui potenziali ritardati mi sono limitato a dire che ritengo meglio che ad una domanda così generale risponda un libro, tutto qui. Tra l'altro quando ho riposto il tuo post non era visibile, quindi non era in nessun modo riferito a ciò che hai scritto, né comunque mi interesserebbe disquisire sulla modalità di risposta degli altri a meno che non ci siano inesattezze o dubbi su cui discutere. Sarà il caldo che rende nervosi tutti, mah.
Nikikinki
 

Re: potenziali ritardati

Messaggioda Masaki » 17/08/2019, 17:41

Nikikinki ha scritto:Così come? :)
Usando le distribuzioni, le soluzioni fondamentali degli operatori e i problemi di Cauchy Generalizzati... La mia domanda era dettata da pura curiosità visto che per poter affrontare l'argomento in questo modo ho dovuto studiare su svariati libri diversi e non solo di fisica.
Masaki
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 4 di 10
Iscritto il: 19/08/2018, 20:43


Torna a Fisica, Fisica Matematica, Fisica applicata, Astronomia

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Gabrio e 45 ospiti