Ho un dubbio sul dominio di un integrale doppio da risolvere in coordinate polari.
"Sia D il dominio contenuto nel primo quadrante delimitato dalla parabola di equazione $ y=2/3x^2 $, dalla circonferenza di equazione $ x^2 + y^2 =1 $ e dalla retta di equazione $ y = 0 $. Utilizzando le coordinate polari calcolare l'integrale:
$ int int_(D)^() sqrt(x^2+y^2) dx dy $ "
Se non ho capito male, il dominio dovrebbe essere questo:
So che:
$ { ( x=rhocostheta ),( y=psentheta ):} $
Quindi devo sostituirle nelle equazioni che rappresentano il dominio.
- $ x^2+y^2=1 rArr rho^2cos^2theta+rho^2sen^2theta=1 rArr rho=1 $
- $ y=0rArr rhosentheta=0 $,
cioè $ rho=0 vv theta=0 $
- $ y=2/3x^2rArr rhosentheta=2/3p^2cos^2thetarArr rho(sentheta-2/3rhocos^2theta)=0rArr rho(2/3sen^2theta +sentheta -2/3)=0 $ ,
cioè $ rho=0 vv 2/3sen^2theta +sentheta -2/3=0 $.
Risolvo la seconda:
$ Delta=1-4(2/3)(-2/3)=25/9 $
$ sentheta=(-1+-5/3)/(4/3)rArr 1/2, -2 $
Prendo solo 1/2 e ho $ theta= pi/6 $.
Posso dire che $ 0<=rho<=1 $, $ 0 <= theta <= pi/6 $?