Esistenza locale e globale problema di Cauchy

Messaggioda donzo93 » 11/08/2019, 13:15

Buondì a tutti! Ho questa eq. differenziale con annesso PDC parametrico:

$ { ( y'=|y|+y ),( y_(x_0)=a ):} $

Nel testo dell'esercizio viene richiesto di discutere prima l'esistenza e unicità locale, poi quella globale, senza specificare altro.
- Per il teorema di Peano si può dire subito che $ EE $ soluzione in un intorno $ I(x_0) $ , in quanto la funzione rispetta le condizioni richieste, in particolare è continua e definita in un aperto $ Asub RR^2 $.
- Per quanto riguarda l'unicità, applicando il teorema per come enunciato nel manuale di riferimento (Ferrario, Terracini) si richiede che $ f=f(x,y) $ sia continua e di classe $ C^1 $. Quindi $ (partialf)/(partial y) = sign(y)+1 $ che è costante per $ a != 0 $. Quindi con $ a != 0 $, $ EE! $ una soluzione del PDC in un $ I(x_0) $, $ forall x_0 in RR $.
- Per l'esistenza e unicità in grande devo avere che la $ f=f(x,y) $ e le sue derivate parziali rispetto a y siano continue in $ I xx RR $, inoltre queste ultime devono essere anche limitate. Sempre considerando $ a != 0 $ queste condizioni sono rispettate (?). Quindi $ EE! $ una soluzione globale del PDC in un qualsiasi intervallo $ I forall x_0 in RR $.

Di quest'ultima affermazione non sono per niente sicuro. Ho letto e riletto tutte le formulazioni possibili del teorema, credevo di averle comprese, ma evidentemente ho ancora qualche dubbio. In particolare a me pare impossibile che esista una soluzione globale in questo caso, anche perchè risolvendo l'equazione differenziale trovo che:
- $ y>0 rArr y(x)=e^(2x+c) $
- $ y<0 rArr y(x)=c $
La prima non mi sembra compatibile con l'esistenza globale. Qualche consiglio? Errori? Orrori? Ringrazio in anticipo chi mi aiuterà.
Marco
Ultima modifica di donzo93 il 11/08/2019, 17:19, modificato 2 volte in totale.
donzo93
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 11 di 15
Iscritto il: 10/06/2019, 16:50

Re: Esistenza locale e globale problema di Cauchy

Messaggioda gugo82 » 11/08/2019, 15:25

Per quanto riguarda esistenza, ok.

Per quanto riguarda unicità, la funzione al secondo membro della EDO, i.e. $f(x,y) := |y| + y$, è lipschitziana in $y$ uniformemente rispetto ad $x$ e sublineare; quindi unicità globale garantita per ogni coppia $(x_0,a)$ di condizioni iniziali.

Esplicitando $f$ troviamo $f(x,y) = \{ (2y , text(, se ) y >= 0), (0, text(, se ) y < 0) :}$, cosicché $f(x,y) > 0 <=> y > 0$ ed $f(x,y) = 0 <=> y <= 0$; ne consegue che non appena il grafico della soluzione massimale $y(x;x_0, a)$ entra nel semipiano $ y > 0$, la soluzione diventa strettamente crescente, mentre quando il grafico della soluzione è nel semipiano chiuso $y<=0$ , la soluzione è costante.
Da ciò segue che se $a<=0$ allora la soluzione $y(*;x_0,a)$ rimane costante e si ha $y(x;x_0,a)=a$ ovunque in $RR$; mentre se $a>0$ la soluzione massimale $y(*;x_0,a)$ è localmente uguale alla soluzione del p.d.C.:
\[
\begin{cases} y^\prime (x) = 2 y(x) \\ y(x_0) = a\end{cases}
\]
che è $a e^{2(x - x_0)}$ e dunque ovunque in $RR$ si verifica l’uguaglianza $y(x;x_0,a) = a e^(2(x - x_0))$.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
Avatar utente
gugo82
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 22092 di 22118
Iscritto il: 13/10/2007, 00:58
Località: Napoli

Re: Esistenza locale e globale problema di Cauchy

Messaggioda donzo93 » 11/08/2019, 17:30

Grazie mille dall'aiuto Gugo!

gugo82 ha scritto:...la funzione al secondo membro della EDO, i.e. $f(x,y) := |y| + y$, è lipschitziana in $y$ uniformemente rispetto ad $x$ e sublineare; quindi unicità globale garantita per ogni coppia $(x_0,a)$ di condizioni iniziali.

E' proprio qui che mi perdo, mi sa che faccio confusione tra il concetto di funzione lipschitziana e la richiesta che la derivata sia continua e limitata. Da quel che ho capito, avere la derivata continua e limitata è condizione necessaria e sufficiente alla liptschitzianità globale di una funzione in un intervallo. Eppure la derivata di $f(x,y) := |y| + y$ in $a=0$ non è continua! Quindi o quello che ho letto a riguardo della condizione necessaria e sufficiente alla liptschitzianità globale è sbagliato, oppure (molto probabile) non ho capito nulla, o ancora devo applicare il teorema in altro modo, possibilmente con richieste meno "forti". Però sul libro è spiegata così, altre formulazioni non ne da. Ti dirò di più: anche negli appunti delle esercitazioni in casi di EDO simili con condizione $ y_(x_0)=0 $ semplicemente si affermava non si potesse applicare il Teorema e chiusa lì la questione. A me pare una risposta incompleta, soprattutto per quanto riguarda l' $EE!$ in piccolo.

Per il resto con la soluzione generale ed il grafico delle soluzioni (chiedeva di disegnare anche quello) mi ritrovo perfettamente, non che fosse difficile.
donzo93
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 12 di 15
Iscritto il: 10/06/2019, 16:50

Re: Esistenza locale e globale problema di Cauchy

Messaggioda Luca.Lussardi » 11/08/2019, 18:06

donzo93 ha scritto: Da quel che ho capito, avere la derivata continua e limitata è condizione necessaria e sufficiente alla liptschitzianità globale di una funzione in un intervallo.

No, è solo sufficiente: $f(x)=|x|$ è Lipschitz ($||x_1|-|x_2|| \le|x_1-x_2|$) ma non è derivabile in $0$; il tuo caso è analogo.
Luca.Lussardi
Responsabile scientifico
Responsabile scientifico
 
Messaggio: 8236 di 8259
Iscritto il: 21/05/2006, 18:59

Re: Esistenza locale e globale problema di Cauchy

Messaggioda donzo93 » 11/08/2019, 18:53

Luca.Lussardi ha scritto:No, è solo sufficiente: $f(x)=|x|$ è Lipschitz ($||x_1|-|x_2|| \le|x_1-x_2|$) ma non è derivabile in $0$; il tuo caso è analogo.

Ecco, ho appena scoperto di aver sprecato due giorni di vita. Sto preparando analisi 2 da non frequentante e su questi argomenti casca l'asino, e casca malissimo :( . Quindi di fatto nel caso, ad esempio, di equazioni con modulo l'unico modo per essere sicuri, oltre a quello che si può intuire guardando la funzione, è verificare direttamente se è lipschitziana?

Comunque ho capito perfettamente ora Gugo, quanto dicevi qui:
Gugo82 ha scritto:...la funzione al secondo membro della EDO, i.e. $f(x,y):=|y|+y$, è lipschitziana in $y$ uniformemente rispetto ad $x$ e sublineare; quindi unicità globale garantita per ogni coppia $(x_0,a)$ di condizioni iniziali.

senza neanche bisogno di utilizzare il teorema potevo notare che $ a=0 $ è sempre soluzione dell'eq differenziale indipendentemente da $ x_0 $. Per il resto andava verificato il teorema in altro modo.
donzo93
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 13 di 15
Iscritto il: 10/06/2019, 16:50

Re: Esistenza locale e globale problema di Cauchy

Messaggioda gugo82 » 11/08/2019, 22:41

@ donzo93: Ho fatto una piccola aggiunta:
[…] e sublineare […]

che serve per far filare meglio la cosa… Ora ti spiego, così cerchiamo di non far cascare nessun asino, mulo o bardotto che sia. :lol:

L’ipotesi “secondo membro $C^1$ con derivata rispetto ad $y$ limitata” è un’ipotesi di comodo; in realtà, sviluppando la teoria ci si è resi conto che basta “secondo membro $C$ e localmente lipschitziano in $y$ uniformemente rispetto ad $x$” per avere esistenza ed unicità locali ed unicità del prolungamento massimale della soluzione locale. In questi casi si dice che c’è esistenza in piccolo e regime di unicità.

D’altra parte, si è poi visto che se si ha esistenza in piccolo e se il secondo membro è “sublineare rispetto ad $y$”, ossia se soddisfa una disuguaglianza del tipo $|f(x,y)| <= A(x) * |y| + B(x)$, allora la soluzione locale del p.d.C. ha un unico prolungamento globale, ossia definito sull’intervallo più grande possibile.

Nel tuo caso, hai praticamente tutto, perché il secondo membro, pur non essendo $C^1$ con derivata rispetto ad $y$ limitata, è continuo, globalmente lipschitziano in $y$ (uniformemente rispetto ad $x$) e sublineare in $y$… Quindi cosa vuoi più dalla vita? (cit.)
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
Avatar utente
gugo82
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 22093 di 22118
Iscritto il: 13/10/2007, 00:58
Località: Napoli

Re: Esistenza locale e globale problema di Cauchy

Messaggioda donzo93 » 13/08/2019, 22:18

gugo82 ha scritto:… Quindi cosa vuoi più dalla vita? (cit.)

un Lucano, grazie :-D :P comunque grazie mille della spiegazione puntualissima e precisa, sei e siete troppo gentili. Purtroppo ho delle difficoltà a verificare le condizioni che mi hai detto, potrà sembrare strano, ma sono limiti miei, vedrò di applicarmi e superarli. Avete per caso qualche dispensa da consigliare sull'argomento? Ho trovato di tutto, ma ognuno sembra trattare queste cose in maniera leggermente diversa.
donzo93
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 14 di 15
Iscritto il: 10/06/2019, 16:50

Re: Esistenza locale e globale problema di Cauchy

Messaggioda dissonance » 14/08/2019, 13:16

donzo93 ha scritto:ma ognuno sembra trattare queste cose in maniera leggermente diversa.

È vero. Anche io ci ho battuto la testa a lungo. Non ti preoccupare, è normale. Secondo me fai meglio a continuare sul manuale che ti hanno consigliato, poi ci sarà tempo per diventare bravi (come diceva un mio professore).
dissonance
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 15555 di 15569
Iscritto il: 24/05/2008, 20:39
Località: Nomade


Torna a Analisi matematica di base

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 29 ospiti