Ciao a tutti ho la seguente serie di funzioni:
$sum_(n=1)^\infty 1/\sqrt(n)x/(1+nx^2)$
La richiesta è di studiarne convergenza puntuale, uniforme e totale.
Per quanto riguarda la conv puntuale ho ragionato così:
$|x/(\sqrt(n)(1+nx^2))| <= |x|/(\sqrt(n)+n^(3/2)x^2) <= |x|/(x^2n^(3/2))$
Sfruttando quindi la convergenza assoluta e il criterio del confronto concludo che la serie di partenza converge puntualmente su tutto l’insieme dei reali.
Sono poi passato a studiare la convergenza uniforme tramite la definizione ma non sono riuscito a concludere niente:
$lim_(N -> +\infty) Sup_(x \epsilon R) |sum_(n=N)^\infty 1/\sqrt(n)x/(1+nx^2)|$ = ...
Qualche volta qui si risolve con proprietà delle serie di Leibniz o con serie geometriche per cui possiamo trovare la somma, non mi sembra però questo il caso