\(\int^c \hom(c,c)\)

Messaggioda caulacau » 05/08/2019, 00:07

\(\def\C{\mathcal{C}}\)Visto che in Italia è pieno di gente che sa queste cose, che facciano questo esercizio.

Se \(\C\) è una categoria piccola, calcolate il colimite del diagramma
\[
\coprod_{c \to c'} \hom_{\C}(c',c)\underset{t}{\overset{s}\rightrightarrows} \coprod_{c\in \C} \hom_{\C}(c,c)
\] ossia il coequalizzatore di \(s,t\), essendo \(s,t\) definite rispettivamente come
\[
\begin{align*}
s\left(u : c\to c',\left[ \begin{smallmatrix} c' \\\,\, \downarrow f \\ c \end{smallmatrix} \right]\right) = f\circ u\\
t\left(u : c \to c',\left[ \begin{smallmatrix} c' \\\,\, \downarrow f \\ c \end{smallmatrix} \right]\right) = u\circ f.
\end{align*}
\]
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Re: \(\int^c \hom(c,c)\)

Messaggioda _fabricius_ » 10/08/2019, 15:47

Cosa ti spinge a postare in un modo che minimizza le possibilità di risposta?
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Re: \(\int^c \hom(c,c)\)

Messaggioda caulacau » 10/08/2019, 16:12

Che cosa intendi con ciò? Non manca niente per rispondere.
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Re: \(\int^c \hom(c,c)\)

Messaggioda caulacau » 11/08/2019, 09:23

\(\def\C{\mathcal{C}}\)Vabbè, ho capito, lo faccio io. :-)

Si tratta di determinare il quoziente di \(H=\coprod_{c\in\C}\hom_\C(c,c)\) (l'insieme degli endomorfismi di \(\C\)) per la minima relazione di equivalenza generata da $s,t$ (con ciò intendendo la relazione $(s[u,f], t[u,f]) \subseteq H \times H$: è abbastanza ovvio che questa non è simmetrica né transitiva, cosicché bisogna considerarne la chiusura rispetto a queste due proprietà).

Ciò che si ottiene è che l'insieme degli endomorfismi di \(\C\) va quozientato per la relazione di equivalenza che identifica \(u : c \to c\) e \(v : c'\to c'\) se e solo se esiste una tupla di oggetti e morfismi come segue:

\xymatrix{
c \ar[d]_u\ar@{<->}[r]& x_1 \ar[d]_{f_1}\ar@{<->}[r]& x_2 \ar[d]_{f_2}\ar@{<->}[r]& \dots \ar@{<->}[r]& x_n\ar[d]_{f_n}\ar@{<->}[r] & c^\prime\ar[d]^v \\
c \ar@{<->}[r] & x_1\ar@{<->}[r] & x_2\ar@{<->}[r] & \dots\ar@{<->}[r] & x_n\ar@{<->}[r] & c^\prime
}

dove \(x_{i-1}\leftrightarrow x_i\) significa "esiste una freccia in una delle due direzioni".

La congettura che si può fare a questo punto è che il colimite cercato sia l'insieme delle componenti connesse di \(\C^\to_e\), dove con \(\C^\to_e\) indico la sottocategoria piena della categoria delle frecce \(\C^\to = {\bf Cat}({\bf 2}, \C)\) i cui oggetti sono i soli endomorfismi di \(\C\).

Si tratta allora di dimostrare che \(\int^c \hom_\C(c,c)\) e \(\pi_0(\C^\to_e)\) hanno la stessa proprietà universale; del resto, il secondo è definito esattamente come il coequalizzatore
\[
\hom(\C^\to_e) \underset{t}{\overset{s}\rightrightarrows} \text{obj}(\C^\to_e) \to \pi_0(\C^\to_e)
\] ed è questione di controllare che
  • \(\hom(\C^\to_e) = \coprod_{c\to c'}\hom_\C(c,c)\);
  • \(\text{obj}(\C^\to_e) = \coprod_{c\in\C}\hom_\C(c,c)\);
  • Esiste una funzione \(p : \text{obj}(\C^\to_e) \to \int^c\hom_\C(c,c)\) che coequalizza \(s,t\);
  • \(p\) è iniziale rispetto a questa proprietà.
Ciascuna di queste cose è facile. Ora, come corollario immediato, lo stesso ragionamento mostra che
\[
\int^c \hom_\C(Fc, Gc) \cong \pi_0\big((F\downarrow G)_e\big)
\] dove\((F\downarrow G)_e\) è la comma degli endomorfismi, cioè la sottocategoria piena di \((F\downarrow G)\) i cui unici oggetti sono endomorfismi di \(\C\).
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Re: \(\int^c \hom(c,c)\)

Messaggioda Indrjo Dedej » 14/08/2019, 17:34

_fabricius_ ha scritto:Cosa ti spinge a postare in un modo che minimizza le possibilità di risposta?
Prova a richiederglielo, se non ti soddisfa la risposta.
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Re: \(\int^c \hom(c,c)\)

Messaggioda Ancona » 14/08/2019, 19:54

L'esercizio non è facile ma il testo è chiaro imho
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Re: \(\int^c \hom(c,c)\)

Messaggioda caulacau » 14/08/2019, 22:00

Siete la matematica che vuole bene :heart:
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