\(\newcommand{\normal}{ \mathrel{ \underset{{=}}{\lhd} } }\)\( \newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}} \)Ciao. Ho una domanda sul teorema di fattorizzazione per i gruppi (mi è venuta da un esercizio di algebra lineare, ma credo che riportare i dettagli sia pressoché inutile, quindi non do contesto).
Serve l'assioma della scelta, nel teorema di fattorizzazione per i gruppi?
Espandendo un attimo: dimostrare che esiste un'unica \( \psi \) tale che, dati due gruppi \( G \), \( H \), un sottogruppo normale \( N\normal G \) e un omomorfismo \( \varphi\colon G\to H\) il cui nucleo \( \Ker\varphi \) contiene \( N \), il seguente diagramma
commuti (\( \pi \) è ovviamente la proiezione canonica), almeno da quanto mi sembra, è pressoché banale: basta, individuata una funzione di scelta \( c \) dalla partizione delle fibre di \( \pi \) su \( G \), comporre
\[
\psi=\varphi\circ c\circ{\left(\pi^{{*}}{\restriction_{G/N}}\right)}
\] La conclusione deriva dal fatto che è assunto \( N\subset\Ker\varphi \), ché se \( xN=yN \) allora \( xy^-1 \) sta in \( \Ker\varphi \).
Quindi, la mia domanda è, riformulando ancora: "In alcune dimostrazioni di questo risultato si costruisce \( \psi \) usando la definizione di funzione in teoria degli insiemi ("Una funzione è una relazione che ecc."). Questa bruttura evita AC?". Secondo me la risposta è negativa, avendone lette un paio, che tuttavia non menzionano l'uso dell'assioma della scelta, in questa mezz'ora.
Un risultato simile vale ovviamente per gli insiemi, e lì son sicuro di aver visto da qualche parte un richiamo ad \( \mathsf{AC} \), ma era un po' di tempo fa.