Numeri primi: regolarità e possibile dimostrazione della congettura dei gemelli

[pdercoli]

... ma dato che le progressioni aritmetiche portano a sequenze di lunghezza discreta posso sapere quanti sono i valori che non corrispondendo a $x$ di composti …

Attento: una progressione aritmetica ha i termini a distanza costante (la ragione, appunto) ma la lunghezza della sequenza è infinita; inoltre, quel che è peggio, bisogna andare molto cauti quando si conta qualcosa che è infinito …

ne sono consapevole infatti parlo di "possibile dimostrazione"

le sequenze le ho studiate osservando empiricamente i primi valori per capire se esistessero e quando le ho trovate ho dimostrato che vengono rispettate all'infinito attraverso una dimostrazione per induzione.
Proprio quello è il punto critico che solo una persona con esperienza può valutare se corretto e lo posso usare oppure se ho introdotto un sofisma algebrico e cade tutto il castello

[pdercoli]

Se non ci sono dubbi sul fatto che si può eseguire il crivello con un approccio modulare oltre che sequenziale vado a descrivere questi moduli

DEFINIZIONI
- Moduli singoli = sono l'equivalente dei regoli singoli per ogni valore $v_a$ della sequenza precedentemente definita. Li chiamo $M_"a"$ intendendo che corrispondono alle ragioni di ogni $v_a$ e quindi $M_"1"=5; M_"2"=7; M_"3"=11; M_"4"=13;...; M_"(2a-1)" = M_"v-"; M_"(2a)" = M_"v+"$ (quindi tutti gli $M$ con indice pari corrispondono a valori $6k-1$ e tutti gli $M$ con indice dispari a valori $6k+1$. Questo aspetto tornerà utile ai fini della dimostrazione). Disposti in sequenza a partire dai rispettivi valori $x_"a1"; x_"b1"$ individuano tutti i $k$ corrispondenti ai composti in $6k+-1$.

- Moduli composti = sono oggetti formati allineando più sequenze di moduli $v_a$ da $v_1$ a $v_a$. Anch'essi conservano modularità rispetto alla distribuzione dei valori dati da tutti gli $M_"a"$. Li chiamo $MM_"a"$ intendendo che sono formati da porzioni di sequenze di tutti gli $M_"a"$ da $M_"1"$ a $M_"a"$

- $V$ e $F$ sono valori booleani vero/falso rispetto la proposizione "il valore $k$ in $6k+-1$ può restituire una coppia di primi gemelli" contenuti nei moduli $M_a$ e $MM_a$


PROPRIETA' MODULI SINGOLI
- hanno lunghezza corrispondente a $v_a$
- hanno due valori $F$ corrispondenti a $x_"a1"; x_"a2"$ per tutti i $v_-$
- hanno due valori $F$ corrispondenti a $x_"b1"; x_"b2"$ per tutti i $v_+$
- hanno $v_a-2$ valori $V$
- tutti i valori $F$ sono definiti quindi sono veri rispetto la proposizione data
- tutti i valori $V$ non sono definiti quindi si deve verificare se la stessa posizione non sia occupata da nessun valore $F$ di altri moduli

PROPRIETA' MODULI COMPOSTI
- hanno lunghezza $v_a!$ intendendo che essa corrisponde alla produttoria della ragione di tutti i $v_a$ da $v_1$ a $v_a$ quindi ad es. $MM_"3"$ ha lunghezza $5*7*11$ che corrisponde a $185$ valori $V;F$ risultanti combinando tutti i composti di $v_1, v_2,v_3$
- avendo un qualsiasi modulo $MM_"a"$ lungo $v_a!$ e volendo creare il successivo $MM_"a+1"$ per formarlo dovrò replicare la ragione di $v_"a+1"$ volte il modulo $MM_"a"$ così com'è. Allo stesso tempo dovrò replicare la ragione di $v_a!$ volte il modulo $M_"a+1"$.
- di conseguenza i valori $F$ che potranno annullare posizioni (dico posizioni perché con i moduli non devo più preoccuparmi dei valori discreti) che sono ancora $V$ nel modulo precedente sono $2(v_a!)/(v_a)$ oppure $2(v_"a-1"!)$
- dato che formare un modulo $MM_a$ equivale ad eseguire $a$ passi del crivello posso determinare la porzione definita nel modulo che equivale al punto in cui più nessun altro composto di $v_"a+1"$ potrà più variare i valori $V;F$ ad esso inferiori.
A causa della presenza dei reciproci nelle sequenze $v_a$, il primo valore $V$ che potrà essere cambiato in $F$ in ogni sequenza sarà l'equivalente della potenza della ragione di $v_a$ perché tutti gli altri precedenti sono già stati annullati dai reciproci con valori inferiori.
Le potenze dei valori $v_a$ si trovano tutte nella forma $6k+1$ (cfr. $a1,b2$,) quindi il modulo è definito per $(v_a)^2=6k+1$ e quindi fino al valore $k=((v_a)^2-1)/6$. Ad es. il modulo $MM_2$ è definito per il valore $k=((7)^2-1)/6=8$. Guardando le sequenze riportate nelle immagini si può vedere che infatti i moduli successivi fino a quel punto saranno solo composti reciproci di valori più piccoli (la struttura speculare che avevamo visto). Ultima osservazione $(v_a)^2-1$ è sempre divisibile per $6$ quindi le porzioni dei moduli si definiscono sempre per valori interi

Posso quindi individuare i seguenti valori significativi in ogni $MM_"a"$:
- $F_a$ il numero di tutti i valori $F$ di un modulo $M_"a"$ che, generando $MM_"a"$, vengono replicati $v_"a-1"!$ volte e sono come detto $2(v_"a-1"!) ∀ a>1$ con $F_1=2$

- $FR_a$ è il numero di tutti i valori $F$ "risultanti" $∀$ valore del modulo $MM_"a"$. Dato che i valori $F_a$ sono ridondanti con i valori $FR$ dei moduli $MM$ precedenti avremo $FR_a < F_a ∀ a>1$. Sappiamo che $FR_1=2$

- $VR_a$ è il numero di tutti i valori $V$ "risultanti" $∀$ valore del modulo $MM_"a"$ non annullati da alcun valore $F$ di tutti gli $M_a$ presenti in $MM_a$.

- $V_a$ è il numero di tutti i $VR_"a-1"$ presenti in $MM_"a-1"$ che vengono replicati $v_a$ volte in $MM_a$. Si possono esprimere con $V_a=VR_"a-1"*v_a ∀ a>1$ con $V_1=5$

conseguenza di queste definizioni è che
$V_a-FR_a=VR_a$ quindi $(VR_"a-1"*v_a)-FR_a=VR_a ∀ a>1$ con $V_1=5$

A questo punto posso costruire alcune sequenze di $MM_a$ per verificare che tutti i valori prevedibili perché evidenti ($F_a$ e $V_a$) corrispondano effettivamnte ai rapporti definiti e studiare il comportamento di quelli che ancora sono da definire ($FR_a$ e $VR_a$).

Ho ottenuto da questa operazione la seguente tabella




e riscontrato che i valori $VR_a$ crescono per i primi 5 passi per valori corrispondenti alla produttoria
$(v_1-2)*(v_2-2)*(v_3-2)*(v_4-2)*(v_5-2)$
quindi posso ipotizzare che:
ipotesi 1. $VR_a=(v_"a"-2)! ∀a>0$

i valori $FR_a$ per gli stessi passi rispettano invece la produttoria
$2*(v_1-2)*(v_2-2)*(v_3-2)*(v_4-2)$
quindi posso ipotizzare che:
ipotesi 2. $FR_a=2(v_"a-1"-2)! ∀a>1$

se le due ipotesi fossero vere sarebbe vera anche
ipotesi 3. $FR_"a+1"= 2(v_a-2)!$ quindi $FR_"a+1"=2*VR_a ∀ a>0$

DIMOSTRAZIONE PER INDUZIONE DELLE IPOTESI 1,2,3
verifico il primo passo in quanto:

ipotesi 1. $VR_1=(v_1-2)! = (5-2)=3$
ipotesi 2. $FR_2=2(v_1-2)! =2(5-2)=6$
ipotesi 3. $FR_2=6$ quindi $FR_2=2VR_1=2*3$

Avendo tratto dalle definizioni date la conseguenza che
a) $(VR_"a-1"*v_a)-FR_a=VR_a ∀ a>1$ con $V_1=5$

e avendo verificato direttamente il caso con $a=1$ allora posso dire che questa sarà vera per tutti gli altri casi da verificare.

dall'ipotesi 1 suppongo che $VR_a=(v_"a"-2)! ∀a>0$ e di conseguenza
b) $VR_"a-1"=(v_"a-1"-2)! ∀a>1$

quindi per tutti i passaggi con $a>1$, sostituendo b) in a), deve essere vera anche
c) $((v_"a-1"-2)!*v_a)-FR_a=(v_"a"-2)!$

Dato che l'ipotesi 3 è di fatto conseguenza delle prime due e che può essere scritta anche
$FR_"a"=2(v_"a-1"-2)! ∀ a>1$
sostituendo l'ipotesi 3 in c) avrò che

d) $((v_"a-1"-2)!*v_a)-2(v_"a-1"-2)! =(v_"a"-2)!$

Osservo che $(v_"a"-2)! =(v_a-2)(v_"a-1"-2)!$ e quindi d) può essere scritta
d) $((v_"a-1"-2)!*v_a)-2(v_"a-1"-2)! =(v_a-2)(v_"a-1"-2)!$

L'equazione a questo punto dovrebbe continuare a risultare vera infatti posso svolgere i passi
1. $((v_"a-1"-2)!*v_a)-2(v_"a-1"-2)! =(v_a-2)(v_"a-1"-2)!$ raccolgo per (v_"a-1"-2)!
2. $((v_"a-1"-2)!*((1*v_a)-(2*1)) =(v_a-2)(v_"a-1"-2)!$ e quindi
3. $((v_"a-1"-2)!*(v_a-2) =(v_a-2)(v_"a-1"-2)!$

dovrebbe essere quindi dimostrato che con il primo passo con $a=1$ e per tutti gli altri con $a>1$ i rapporti ipotizzati siano sempre realizzati

se non ho commesso errori in questo passaggio posso usare tutte le informazioni acquisite per dimostrare che per ogni $MM_a$ esiste $MM_"a+1"$ che incrementa i valori produttivi di coppie di primi gemelli nella porzione definita di almeno una unità e quindi che di conseguenza questi sono infiniti

[axpgn]

Magari se postavi un paragrafo per volta era meglio, molto meglio

Se non ci sono dubbi sul fatto che si può eseguire il crivello con un approccio modulare oltre che sequenziale vado a descrivere questi moduli

Non capisco cosa intendi con questa differenziazione ...

DEFINIZIONI
- Moduli singoli = sono l'equivalente dei regoli singoli per ogni valore $ v_a $ della sequenza precedentemente definita. Li chiamo $ M_"a" $ intendendo che corrispondono alle ragioni di ogni $ v_a $ e quindi $ M_"1"=5; M_"2"=7; M_"3"=11; M_"4"=13;...; M_"(2a-1)" = M_"v-"; M_"(2a)" = M_"v+" $ (quindi tutti gli $ M $ con indice pari corrispondono a valori $ 6k-1 $ e tutti gli $ M $ con indice dispari a valori $ 6k+1 $. Questo aspetto tornerà utile ai fini della dimostrazione). Disposti in sequenza a partire dai rispettivi valori $ x_"a1"; x_"b1" $ individuano tutti i $ k $ corrispondenti ai composti in $ 6k+-1 $.

E visto che inizi, giustamente, con le definizioni, definisci per bene ... così come hai fatto, per esempio, non si capisce da dove saltano fuori i valori dei vari $M$ che sono la "base" dei tuo ragionamenti (si capisce veramente poco, ci sono un sacco di simboli e praticamente nessuno è definito in modo preciso … IMHO)

[pdercoli]

comprendo ma ho preferito scrivere tutto perché riportare i singoli passaggi a pezzi nel forum mi crea più problemi.
Ora posso anche riprenderli passo passo e vedere se la poca chiarezza è solo formale o anche sostanziale.

i moduli singoli $M_a$ sono questi (rosso $M_1$, blu $M_2$, verde $M_3$ etc.):



i moduli composti $MM_a$ sono questi (evidenziato $MM_2$):



- $F_2$ sono i 10 valori composti del singolo $M_2$ equivalenti alle 2 posizioni corrispondenti ai valori composti replicati 5 volte per formare $MM_2$

- $FR_2$ sono quei valori che non sono ridondanti. Sono 6 dato che in corrispondenza dei composti 7*5, 7*25, 7*29, 7*31 sono ridondanti in quanto già occupate da valori $F$ della sequenza dei moduli $M_1$

- $VR_2$ sono i valori $V$ che risultano effettivamente presenti in $MM_2$. sono 15 con considerando significativi i soli 35 valori del modulo da 4 a 38

- $V_2$ sono i 3 valori $V$ di $MM_1$ (per il primo caso $MM_1$ ed $M_1$ si equivalgono) che costruendo $MM_2$ vengono replicati per 7 volte quindi 21 nuovi potenziali valori $V$ di cui una parte sarà annullata dai valori $FR_2$

[pdercoli]

credo non serva ma per specificare meglio gli oggetti $MM_a$ e i valori che prendo in considerazione:

- Evidenziati in verde e celeste due $MM_2$ lunghi ciascuno 35 e disposti lungo i primi valori di $k$ da verificare da 4 a 73 in colonna C.

- Nella colonna D ed E ci sono i rispettivi $M_a$ necessari per formarlo (7 $M_1$ e 5 $M_2$) da cui ricavo esplicitamente i valori $F_2$ e $V_2$.

- Nella colonna B evidenziati i valori risultanti $FR_2$ (evidenziati in rosa perché in corrispondenza c'è almeno un valore $F$) e i valori risultanti $VR$ (dove non c'è nessun valore $F$ e quindi sono potenzialmente produttivi di primi gemelli)

- Il primo valore $V$ cambiato in $F$ da un modulo $M_2$ è quello in corrispondenza di $(v_2)^2$ perché dell'altro c'era già il reciproco con un $v_1$ e da questo ricavo la formula per individuare il punto in cui il modulo è definito.

Ho fatto esattamente quello che farei nei primi due passi del crivello in modo sequenziale calcolando tutti i valori di $x_a1; x_a2; x_b1; x_b2$ ma con un approccio modulare che mi consente di avere valori significativi rispetto a quanti sono i $k$ produttivi di gemelli ogni singolo passo compiuto

[axpgn]

i moduli singoli $M_a$ sono questi (rosso $M_1$, blu $M_2$, verde $M_3$ etc.):

Matematicamente questa frase non ha nessun significato … mi ripeto: devi definire per bene ogni oggetto che usi altrimenti non solo è difficile capirsi ma soprattutto è facile fare confusione e prendere fischi per fiaschi.
Una definizione non solo deve essere chiara e comprensibile ma anche NON deve essere ambigua né contradditoria.

Un esempio di come definirei io alcune cose è questo (ovviamente tu puoi fare come vuoi basta che rispetti quanto ho detto poca sopra):

- L'insieme $V$ è composto da tutti i numeri naturali della forma $v=6n+-1$ con $n in NN$.
- L'insieme $V$ contiene tutti i numeri primi tranne il $2$ e il $3$.
- L'insieme $V$ contiene tutti i numeri composti che NON sono multipli di $2$ o di $3$.
- I numeri composti appartenenti a $V$ sono il prodotto di numeri appartenenti a $V$.
- Abbiamo due tipologie di numeri composti di $V$:
$v_+=6n+1$ con $n in NN$ che identifichiamo con il pedice "+"
$v_(-)=6n-1$ con $n in NN$ che identifichiamo con il pedice "-"
- Ciascuna delle due tipologie può essere decomposta nel prodotto di due numeri di $V$ in due modi diversi e più precisamente:
$v_(+a)=6x+1=(6k+1)(6y+1)$
$v_(+b)=6x+1=(6k-1)(6y-1)$
$v_(-a)=6x-1=(6k-1)(6y+1)$
$v_(-b)=6x-1=(6k+1)(6y-1)$
- dato un elemento qualsiasi $w=6x+-1$ di $V$ denominiamo la variabile $x$ come il "seme" che genera gli elementi di $V$
- dalle quattro relazioni precedenti possiamo ricavare quattro funzioni che definiscono tutti i "semi" in funzione di ogni coppia di numeri naturali (ovvero per ogni elemento di $NN^2$ esiste un "seme"); le funzioni sono le seguenti:
$f_1: NN^2 -> N\ \ \ \ \ \ \ x_(+a)=f(k,y)=6ky+k+y$
$f_2: NN^2 -> N\ \ \ \ \ \ \ x_(+b)=f(k,y)=6ky-k-y$
$f_3: NN^2 -> N\ \ \ \ \ \ \ x_(-a)=f(k,y)=6ky+k-y$
$f_4: NN^2 -> N\ \ \ \ \ \ \ x_(-b)=f(k,y)=6ky-k+y$
- per ciascuna funzione, tenendo fissa una delle variabili e variando l'altra, otteniamo delle progressioni aritmetiche (ed in concreto ne otteniamo infinite variando di volta in volta la seconda variabile).

E questo esempio è solo l'inizio … adesso tocca a te: i tuoi "moduli" sono le "ragioni" di queste progressioni aritmetiche e se vuoi proseguire un discorso più "matematichese" devi definire "per bene" questi moduli (insomma, non con frasi come "i moduli sono questi" oppure elencandone i primi termini e basta).

IMHO

[pdercoli]

i moduli singoli $M_a$ sono questi (rosso $M_1$, blu $M_2$, verde $M_3$ etc.):

Matematicamente questa frase non ha nessun significato

infatti non l'ho scritta nelle definizioni ma in un esempio finalizzato a far comprendere meglio la sostanza di ciò che sto cercando di descrivere perché io il "matematichese" non lo possiedo e come tutti quelli che non possiedono un linguaggio cercano di tradurre le idee in immagini

sei molto gentile, paziente e rigoroso e non posso che ringraziarti di tutte e tre le cose

tu mi dici che ci sono ambiguità ma io fatico a vederle. Puoi farmi un esempio di dove sono nelle definizioni che ho dato di $M_a$, $MM_a$, $F_a$, $FR_a$, $V_a$, $VR_a$
anche non tutte ma solo in generale in modo che posso venire incontro alla tua richiesta

[axpgn]

infatti non l'ho scritta nelle definizioni ma in un esempio finalizzato a far comprendere meglio la sostanza di ciò che sto cercando di descrivere perché io il "matematichese" non lo possiedo e come tutti quelli che non possiedono un linguaggio cercano di tradurre le idee in immagini

Eh, ma così è difficile andare avanti … io non ho letto completamente i tuoi ultimi interventi perché, oltre ad essere faticoso, se il primo punto non è chiaro, il secondo diventa più nebuloso, il terzo ancor di più e alla fine diventa tutta nebbia ... non so se mi spiego ...

Per esempio, io non vedo da nessuna parte una definizione o un'espressione o un algoritmo che mi permetta di calcolare i vari $M$ in modo preciso e puntuale; non è sufficiente dire "è evidente", "si intuisce che" o fare un elenco dei valori iniziali, non funziona così ...

Tanto per cominciare, devi sforzarti di proporre un metodo (preciso e rigoroso), una procedura, per giungere a calcolare ogni $M$.
Gli algoritmi sai cosa sono, quindi dovresti farcela

[pdercoli]

Tanto per cominciare, devi sforzarti di proporre un metodo (preciso e rigoroso), una procedura, per giungere a calcolare ogni $M$.
Gli algoritmi sai cosa sono, quindi dovresti farcela

ma io gli $M$ li ho già calcolati, la loro lunghezza è data dalla modularità delle funzioni $x_"a1",x_"a2"$ e $x_"b1", x_"b2"$ che è, come dici tu, la stessa ragione di ogni rispettivo $v_a$. Dato che la distanza fra $x_"#1"$ e gli $x_"#2"$ è sempre minore della lunghezza di $M_a$ perché è $2k$ mentre la ragione di $v_a$ è al minimo $6k-1$ ogni modulo lungo la ragione di $v_a$ conterrà entrambi i valori $x$ riferiti ai composti.
Uso gli esempi dei regoli perché, indipendentemente dalle mie limitate competenze, mi sembra estremamente più immediato da comprendere così.
Dato che i regoli rispondono evidentemente a leggi aritmetiche, nello specifico la moltiplicazione, più sequenze formate da regoli diversi risponderanno a questi rapporti quindi si ripeteranno così come sono per la lunghezza data dal loro prodotto perché è evidente che se ho regoli del 5 e regoli del 7 per produrre due sequenze della stessa lunghezza usando solo quelli uguali fra loro avrò bisogno al minimo di 7 regoli lunghi 5 e 5 lunghi 7.

questa è la definizione dei moduli singoli:

- Moduli singoli = sono l'equivalente dei regoli singoli per ogni valore $v_a$ della sequenza precedentemente definita. Li chiamo $M_a$ intendendo che corrispondono alle ragioni di ogni $v_a$ e quindi $M_1=5;M_2=7;M_3=11;M_4=13;...;M_"(2a-1)"=Mv-;M_"(2a)"=Mv+$ (quindi tutti gli $M$ con indice pari corrispondono a valori $6k−1$ e tutti gli $M$ con indice dispari a valori $6k+1$. Questo aspetto tornerà utile ai fini della dimostrazione). Disposti in sequenza a partire dai rispettivi valori $x_"a1";x_"b1"$ individuano tutti i $k$ corrispondenti ai composti in $6k±1$.

.

Se analizzo quel che ho scritto descrivo:
- cosa sono = sono l'equivalente dei regoli singoli per ogni valore $v_a$
- come li chiamo = Li chiamo $M_a$ intendendo che corrispondono alle ragioni di ogni $v_a$
- come li uso e che informazione mi restituiscono = Disposti in sequenza a partire dai rispettivi valori xa1;xb1 individuano tutti i k corrispondenti ai composti in $6k±1$

cosa è ambiguo e va precisato e cosa manca per comprenderli chiaramente?

[axpgn]

ma io gli $M$ li ho già calcolati, …

Che tu li abbia calcolati non significa assolutamente niente, devono poterli calcolare TUTTI, deve essere chiaro a TUTTI cosa sono e così via …

… la loro lunghezza è data dalla modularità delle funzioni …

Questa frase e il resto sono solo parole che non hanno un significato preciso, univoco.
Che è "la modularità delle funzioni"? Non mi interessa il significato che hanno sulla Treccani ma vorrei conoscere il procedimento che usi per dargli un valore numerico.

Ti faccio un esempio ...

Tu chiami $M$ le ragioni delle progressioni aritmetiche che si possono generare indirettamente da quella quattro funzioni.
Chiamo $M1$ le ragioni derivanti dalla prima funzione $f_1$
E siccome sono infinite, fisso una delle due variabili per avere una progressione sola (una alla volta, evidentemente) e quindi il "nome" della ragione di ogni progressione sarà $M1_(k,y=i)$ (dove la $i$ rappresenta il valore fissato per la seconda variabile).
Ora, la ragione di una progressione aritmetica si trova facilmente, calcolando la differenza tra due termini consecutivi della progressione ovvero nel caso di $M1$ avremo $M1_(k,y=i)=[(6(k+1)i+(k+1)+i]-[(6ki+k+i]=6i+1$ che in concreto produce $M1_(k,y=1)=7$ e $M1_(k,y=2)=13$ e $M1_(k,y=3)=19$ e …

Questo è un modo concreto di definire un oggetto matematico. Altrimenti son solo parole ed è difficile intendersi.

IMHO