Massa fra due molle

[SalvatCpo]

Le molle hanno lunghezza a riposo trascurabile e sono tese sino ad avere lunghezze L1, L2 con una massa in equilibrio in mezzo ad esse. La massa viene spostata a destra di una quantità Ao. Trovare l'equazione del moto della massa rispetto alla sua posizione di equilibrio.

All'inizio acc=0 quindi $ k_1l_1=k_2l_2 $ e x=0.
L'equazione delle forze è
$ ma=k_2(l_2-x)-k_1(l_1+x) $ da cui
$ x=A_ocos(sqrt((k_1+k_2)/m)*t) $ .

Se la mia risoluzione è corretta, questo era il classico problema delle molle in serie (anche se la massa non sta alla fine della serie), siete d'accordo?

[caffeinaplus]

Ciao, spero di poterti aiutare e non dire cavolate

Allora, il testo ci da come prima informazione che

$K_1L_1 = K_2L_2 \rarr K_1 = (L_2)/(L_1)K_2$

Ora, sfruttando come dicevi tu il secondo principio della dinamica

$ma = K_1(L_1+x) -K_2(L_2-x)$

Dalla relazione precedente si ha

$[(dx)/(dt)]^2=-K_2/m(1+L_2/L_1)x$

Ma allora

$(dx)/(dt) = (iomegasqrt(1+phi))x$

Dove $K_2/m = omega^2$
$L_2/L_1 = phi$

Allora risolvendo si ha $ln(x) = iomegasqrt(1+phi)+c$

$x(t) = lambdae^(iomegasqrt(1+phi))$

Con l'identità di Eulero e considerando che il moto è reale si ha

$x(t) = lambdacos(omegasqrt(1+phi)t)$

Imponendo la condizione iniziale si ha che $lambda = A_0$

Allora $x(t) = A_0cos(omegasqrt(1+phi)t)$

Edit: avevo scritto $omega$ dove intendevo $omega^2$

[SalvatCpo]

Ciao, spero di poterti aiutare e non dire cavolate

Allora, il testo ci da come prima informazione che

$K_1L_1 = K_2L_2 \rarr K_1 = (L_2)/(L_1)K_2$

Ora, sfruttando come dicevi tu il secondo principio della dinamica

$ma = K_1(L_1+x) -K_2(L_2-x)

$

Penso tu abbia invertito i segni perchè il richiamo della molla 1 è discorde con l'accelerazione fissata positiva verso destra.

Ora: $ K_1L_1-K_2L_2=0 $ quindi la tua equazione, coincidente con la mia (a parte i segni) va semplificata. I tuoi strani calcoli successivi mi sembrano dunque frutto di una svista.

[caffeinaplus]

Ciao,
allora mi sono portato un errore di segno ma il succo non penso cambi.

Sappiamo che $K_1=-K_2L_2/L_1$

Dato che in condizione di equilibrio agiscono in versi opposti.

Allora, spostato il sistema di $A_0$ verso destra si ha che l'accelerazione del sistema è verso sinistra, visto che la molla 1 è stata ulteriormente dilatata e vorrebbe tornare a sinistra, la molla 2 è stata contratta e quindi spinge verso sinistra per ritornare all'equilibrio.

Ecco che allora

$ma = k_2(L_2-x) + k_1(L_1+x)$

ma allora

$ma=k_2(L_2-x) -k_2L_2/L_1(L_1+x)$

$ma=k_2L_2 -k_2x -k_2L_2 -k_2L_2/L_1x=-k_2x(1+L_2/L_1)$

Quindi a questo punto bisogna risolvere la stessa equazione differenziale che avevo già postato nel messaggio precedente

Comunque facendo la sostituzione si arriva poi che

$x(t) = A_0cos(sqrt((k_2-k_1)/m)*t)$

Che non mi sembra neanche tanto irragionevole, dato che $L_2 != L_1$ si avrà che superata la posizione di equilibrio le molle inizieranno a remarsi contro.

In ogni caso, è un caso che non ho mai affrontato prima, quindi accetto volentieri la smentita se mostri per intero il tuo ragionamento

[SalvatCpo]

La molla 2 secondo me non spinge verso sinistra. É stirata e quindi vuole andare verso la parere destra (solo che tale forza di richiamo é meno intensa rispetto all'equilibrio iniziale). Dovrebbe intervenire qualcuno più esperto e dire la sua. Speriamo. Sostanzialmente i nostri risultati differiscono nel fatto che io sommo e tu sottrai le costanti elastiche. COMUNQUE sul mio libro é presente il caso in cui K1=K2 (per il resto tutto é uguale, tranne il fatto che le lunghezze a riposo non sono nulle, ma la cosa non é importante) e il risultato é $ x=A_ocos(sqrt((2k)/m)*t) $ il che suggerisce, a mio avviso, che le costanti elastiche vadano in addizione.

[caffeinaplus]

Avevo trascurato che le lunghezze a riposo sono ... trascurabili

Allora si, il risultato anche per me è giusto.
Riporto tutti i risultati se qualcuno dovesse averne bisogno in futuro:

La relazione di partenza è sempre $k_1 = -k_2L_2/L_1$

Ora, se diciamo $x$ la modifica TOTALE della molla e considerando che la lunghezza a riposo delle molle $\rarr0$ (se cosi non fosse stato avremmo avuto la situazione su cui mi ero fissato ) e che quindi agiscono in direzione opposta avremo che ( senza supporre una particolare direzione di $a$ )

$ma = k_2(L_2-x) -k_1(x-L_1) \Rightarrow k_2(L_2-x)+k_2L_2/L_1(x-L_1)$
$\Rightarrow ma= k_2L_2 -k_2x +k_2xL_2/L_1 -k_2L_2 \Rightarrow a = -k_2/mx(1-L_2/L_1)$

A questo punto detti $k_2/m = w^2$ e $(1-L_2/L_1)=phi^2$ si ha

$[(dx)/(dt)]^2 = -w^2phi^2x \Rightarrow (dx)/(dt) = iwphix \Rightarrow lnx = iwphit +c $

$\Rightarrow x(t) = lambdae^(iwphit)$

Dato che il moto che ci interessa si svolge nel piano reale e con l'identità di Eulero

$x(t) = lambdacos(wphit)$

Sappiamo che $x(0) = A_0 \Rightarrow lambda=A_0$

Quindi

$x(t) = A_0cos(sqrt(k_2/m)*sqrt(1-L_2/L_1))t) \Rightarrow x(t)=A_0cos(sqrt((k_1+k_2)/m)t)$

Quindi si, le molle si comportano come fossero in parallelo.

Beh, comunque nell'altro mio post a chi dovesse servire può trovare il caso in cui le due molle sono in partenza a riposo