Esercizio sulla contrazione delle lunghezze in relatività ristretta

[stevin]

Buongiorno,
mi ritrovo con il seguente problema:

Ad un laboratorio L arrivano contemporaneamente due impulsi elettromagnetici da due antenne A e B, equidistanti dal laboratorio e poste sulla stessa retta. Nell’istante in cui il segnale era partito da A, quest’antenna veniva sorvolata da un missile in moto a velocità costante di 0,75c. In quale istante il missile rivelerà l’impulso proveniente da B, se la distanza tra le due antenne è di 50 km?

Ho pensato di determinare la distanza tra le due antenne per il missile, usando la contrazione delle lunghezze:
\(l=l_0 \sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2 }}\),
per poi scrivere, ponendo come istante t=0 quello in cui il missile sorvola A, le leggi orarie del missile e dell’impulso proveniente da B:
\(\displaystyle x_M=vt \) e \(\displaystyle x_i=l-ct=l_0 \sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2 }}-ct \).
A questo punto, ponendo \(\displaystyle x_M=x_i \), ottengo
\(\displaystyle vt=l_0 \sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2 }}-ct\Rightarrow t=\dfrac{l_0}{v+c} \sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}=\dfrac{50\cdot 10^3}{1.75\cdot 10^8} \sqrt{1-0.75^2 }=63 \mu s \).

Va bene come ragionamento? Grazie mille a chi vorrà rispondermi.

[Shackle]

Il risultato Va bene. Però devi tenere distinto il tempo proprio dal tempo coordinato. Hai mescolato i punti di vista dell’osservatore terrestre, per il quale la distanza è L = 50 km , con quello del pilota.
Per il terrestre, l’incontro tra il missile e il segnale proveniente da B avviene nell’istante di tempo coordinato $t$ in cui:

$vt = L-ct$

da cui si ricava : $ t= L/(c+v) = 95.238 \mus$

Chiarisco, a tal proposito, che rispetto ad un unico osservatore terrestre non è sbagliato sommare la velocità v del missile con la velocità c del segnale che va incontro al missile: è un concetto su cui mi sono soffermato varie volte, ad esempio qui:

https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 0#p8423498

Pertanto, rispetto all’osservatore terrestre il tempo necessario per l’incontro tra missile e segnale è dato semplicemente da $L/(c+v)$.

Siccome qui il fattore di Lorentz vale :$gamma =1.512$ , il tempo proprio , cioè misurato sul missile , vale: $ \tau = t/\gamma = 63 \mus$ .
Come vedi, il risultato è uguale al tuo. Ma il tuo ragionamento non è corretto concettualmente. Le coordinate (x,t) mediante le quali scrivi le leggi orarie, sono quelle dell’osservatore terrestre , le coordinate del missile sono (x’, t’) , ed è vero che per il missile la distanza è contratta. È rispetto al riferimento terrestre che il missile ha velocità $v$ , per cui $x=vt$ , e la lunghezza rispetto a tale riferimento non è contratta. Per il missile non puoi scrivere la legge oraria x’ =vt’ , perché x’=0 sempre, il missile considera se stesso “fermo “ .
Più che un esercizio sulla contrazione delle lunghezze, è un esercizio sul rallentamento degli orologi in moto rispetto a quelli di quiete. Ma il risultato non cambia, visto che i due effetti sono complementari , il fattore di L. è lo stesso.
Spero sia chiaro che cosa intendo .