Ogni funzione bilineare è continua?

Messaggioda thedarkhero » 18/08/2019, 03:11

Mi chiedevo se ogni funzione bilineare $F:A \times B -> RR$ è continua.
Ad esempio nel caso di forme quadratiche $F:RR^n \times RR^n->RR$ definite da $F(x,y)=x^T Ay$ con $A \in M_n(RR)$ questo è chiaramente vero ma non mi viene in mente come lo si possa dimostrare per funzioni bilineari qualsiasi.
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Re: Ogni funzione bilineare è continua?

Messaggioda caulacau » 18/08/2019, 08:39

Che differenza c'è tra il caso che capisci come dimostrare e quello generale?
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Re: Ogni funzione bilineare è continua?

Messaggioda thedarkhero » 18/08/2019, 14:21

Nel caso di forme quadratiche la funzione è un polinomio di secondo grado, che è ovviamente continuo.
Se ad esempio considero la funzione $F(\phi,\psi)=\int_{RR^2}f(x,y)d\phi(x)d\psi(y)$ definita sul prodotto cartesiano di due spazi di misure di probabilità, mi è meno chiaro che si tratta di una funzione continua.
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Re: Ogni funzione bilineare è continua?

Messaggioda caulacau » 18/08/2019, 15:03

Una funzione bilineare è una funzione che, ristretta a uno dei suoi argomenti, è lineare: supponi che \(B : V \times W \to K\) sia bilineare, e che \(B(v, \_)\) però non sia continua come funzion(al)e su \(W\); allora, da ciò cosa evinci, visto che una funzione con dominio un prodotto è continua se e solo se lo è su ciascuna delle componenti? Questa $B$ si può costruire? Ossia, le coppie di funzioni lineari \(u : V\to K\) e \(v : W\to K\) catturano tutte le funzioni bilineari mediante la regola
\[
\begin{CD}
V \times W @>>u\times v> K \times K @>>\cdot> K
\end{CD}
\] oppure è necessaria una qualche compatibilità in più in una applicazione bilineare?
Ultima modifica di caulacau il 19/08/2019, 10:01, modificato 1 volta in totale.
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Re: Ogni funzione bilineare è continua?

Messaggioda thedarkhero » 19/08/2019, 03:23

Penso di non aver capito, se $B:V \times W -> K$ è bilineare allora come può $B(v, \_ ):W->K$ non essere lineare?
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Re: Ogni funzione bilineare è continua?

Messaggioda caulacau » 19/08/2019, 10:28

Sarà lineare certo. Quello che intendo è che può non essere continua, forse.
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Re: Ogni funzione bilineare è continua?

Messaggioda arnett » 19/08/2019, 21:34

Ma che complicazione: la risposta è che palesemente la tesi è falsa. Siano $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ basi normalizzate di $A$ e di $B$ rispettivamente. Da esse estrai successioni ${x_n^a}$ e ${x_n^b}$. Definisci la forma bilineare $\phi$ in questa maniera: $\phi(x_n^a, x_m^b)=n+m$ se $x_n^a, x_n^b$ appartengono alla successione scelta, $\phi(x_a, x_b)=0$ altrimenti. Verifica che non è continua.
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Re: Ogni funzione bilineare è continua?

Messaggioda caulacau » 19/08/2019, 21:40

Stavo cercando di farci arrivare l@i, sì. :-)
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Re: Ogni funzione bilineare è continua?

Messaggioda thedarkhero » 20/08/2019, 15:43

Ok, allora nel caso ad esempio della funzione $F(\phi,\psi)=\int_{RR^2}f(x,y)d\phi(x)d\psi(y)$ come posso provare la continuità?
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Re: Ogni funzione bilineare è continua?

Messaggioda dissonance » 20/08/2019, 19:47

Prima di tutto devi specificare che topologia intendi su \(\phi\) e \(\psi\). Se sono topologie di spazio normato, \(F\) è continua se e solo se esiste \(C>0\) tale che
\[
\lvert F(\phi, \psi)\rvert\le C\lVert \phi\rVert \lVert \psi\rVert. \]
dissonance
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