dissonance ha scritto:Ho già risposto a questa domanda. Riepilogo. Esiste una base di autovettori. Tutti gli autovettori corrispondenti ad autovalori non nulli sono associati a massimi o a minimi locali. Restano solo le direzioni corrispondenti all'autovalore 0.
paolo.math ha scritto:ho 3 autovettori che sono una base cioè tutti gli altri vettori dello spazio R^3
Bokonon ha scritto:Non si capisce granchè la domanda del thread...è come se fosse stato tagliato.
Provo a darti una visione "concreta" di ciò che si fa studiando l'Hessiana.
Innanzittuto riassumo assai brevemente i seguenti fatti. L'Hessiana racchiude informazioni sulla concavità di una superficie. E' simmetrica e pertanto ha sempre autovalori reali ed è sempre diagonalizzabile ed è sempre possibile quindi derivare una base di autovettori ortogonali fra di loro.
Il segno degli autovalori ci dice la concavità della superficie lungo quella direzione.
Ora, supponiamo di avere una $f(x,y)$ e di aver trovato un punto stazionario, ci chiediamo se sia un massimo o un minimo o una sella (in genere definiscono "sella" tutti i punti stazionari che non sono ne minimi ne massimi).
Guardiamo l'intorno di quel punto e, nota bene, nel suo intorno la superficie è da considerarsi piatta. Per comodità visualizziamolo come un cerchio. L'Hessiana è una matrice 2x2 pertanto troveremo due direzioni perpendicolari (autovettori) che possiamo disegnare dentro il cerchio.
Se entrambe le direzioni sono collegate ad autovalori positivi (l'Hessiana quindi è definita positiva), allora lungo di esse la concavità è positiva e lo sarà anche lungo tutte le direzioni che sono combinazioni lineari dei due autovettori. Quindi il nostro punto è un minimo relativo/assoluto.
Stessa cosa se entrambi gli autovalori sono negativi (Hessiana definita negativa) ma il punto sarà un massimo.
Se invece abbiamo un autovalore positivo e uno negativo allora sappiamo per certo che lungo una direzione abbiamo un minimo e lungo la seconda abbiamo un massimo. Le combinazioni lineari sono come una lancetta, facciamola ruotare in senso antiorario. Fino ad un angolo $alpha$ la concavità positiva "vince" contro quella negativa (se la superficie è perfettamente simmetrica, $alpha=pi/4$) e quindi anche lungo tutte le direzioni con angolo compreso fra zero e $alpha$, il nostro punto rappresenta un minimo. Nota bene, la pendenza verso l'alto della superficie tenderà mano a mano ad appiattirsi mano a mano che ci avviciniamo ad $alpha$.
Fra $alpha$ e $pi/2$ il discorso si inverte. La combinazione lineare privilegerà l'effetto della concavità negativa e lungo tutte queste direzioni il nostro punto rappresenta un massimo.
In altre parole: una volta che conosciamo i due autovettori e il segno dei due corrispondenti autovalori abbiamo già un quadro completo di cosa accade e non ci interessa guardare direzione per direzione. A questo punto sappiamo che è una sella.
Se un autovalore è zero invece possiamo andare a vedere cosa accade lungo questa direzione: nella maggior parte dei casi la concavità è zero pertanto la pendenza è costante. Qualche volta invece il nostro punto potrebbe essere un minimo o un massimo. Ma vabbè tanto in generale in questi casi la chiamano sempre "sella" anche se la pendenza è costante.
Ripeto, non mi è chiara la domanda del thread ma questo:paolo.math ha scritto:ho 3 autovettori che sono una base cioè tutti gli altri vettori dello spazio R^3
è "sbagliato". La superficie sta in $R^4$ è del tipo $f(x,y,z)=w$. L'intorno puoi immaginarlo come una proiezione lungo la direzione $w$ in uno spazio (x,y,z) il cui riferimento ortogonale è dato dagli autovettori dell'Hessiana.
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