Re: Punto di sella: perché se Hf(x0) è semidefinita lo è solo se per l'autovettore associato a λ=0 c'è un max o min?

Messaggioda dissonance » 18/08/2019, 18:06

Ho già risposto a questa domanda. Riepilogo. Esiste una base di autovettori. Tutti gli autovettori corrispondenti ad autovalori non nulli sono associati a massimi o a minimi locali. Restano solo le direzioni corrispondenti all'autovalore 0.
dissonance
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 15568 di 27757
Iscritto il: 24/05/2008, 19:39
Località: Nomade

Re: Punto di sella: perché se Hf(x0) è semidefinita lo è solo se per l'autovettore associato a λ=0 c'è un max o min?

Messaggioda paolo.math » 19/08/2019, 13:27

dissonance ha scritto:Ho già risposto a questa domanda. Riepilogo. Esiste una base di autovettori. Tutti gli autovettori corrispondenti ad autovalori non nulli sono associati a massimi o a minimi locali. Restano solo le direzioni corrispondenti all'autovalore 0.


Grazie per la risposta ma non riesco veramente a capire. Se suppongo che una matrice simmetrica 3x3 abbia 2 autovalori >0 e 1 =0, ho 3 autovettori che sono una base cioè tutti gli altri vettori dello spazio R^3 sono combinazione lineare di questi 3 autovettori ma questi 3 autovettori rappresentano solo 3 direzioni lungo le quali verifico se hanno massimi o minimi locali. In tutte le altre direzioni anche se sono combinazione lineare di queste 3, in cui ho verificato, l'esistenza di un massimo o minimo la devo considerare caso per caso....

In parole semplici penso che se in una direzione non esiste un massimo/minimo non posso dire che in un'altra non esista il massimo/minimo :roll:
paolo.math
New Member
New Member
 
Messaggio: 8 di 64
Iscritto il: 13/08/2019, 19:31

Re: Punto di sella: perché se Hf(x0) è semidefinita lo è solo se per l'autovettore associato a λ=0 c'è un max o min?

Messaggioda Bokonon » 19/08/2019, 15:02

Non si capisce granchè la domanda del thread...è come se fosse stato tagliato.

Provo a darti una visione "concreta" di ciò che si fa studiando l'Hessiana.
Innanzittuto riassumo assai brevemente i seguenti fatti. L'Hessiana racchiude informazioni sulla concavità di una superficie. E' simmetrica e pertanto ha sempre autovalori reali ed è sempre diagonalizzabile ed è sempre possibile quindi derivare una base di autovettori ortogonali fra di loro.
Il segno degli autovalori ci dice la concavità della superficie lungo quella direzione.

Ora, supponiamo di avere una $f(x,y)$ e di aver trovato un punto stazionario, ci chiediamo se sia un massimo o un minimo o una sella (in genere definiscono "sella" tutti i punti stazionari che non sono ne minimi ne massimi).
Guardiamo l'intorno di quel punto e, nota bene, nel suo intorno la superficie è da considerarsi piatta. Per comodità visualizziamolo come un cerchio. L'Hessiana è una matrice 2x2 pertanto troveremo due direzioni perpendicolari (autovettori) che possiamo disegnare dentro il cerchio.
Se entrambe le direzioni sono collegate ad autovalori positivi (l'Hessiana quindi è definita positiva), allora lungo di esse la concavità è positiva e lo sarà anche lungo tutte le direzioni che sono combinazioni lineari dei due autovettori. Quindi il nostro punto è un minimo relativo/assoluto.
Stessa cosa se entrambi gli autovalori sono negativi (Hessiana definita negativa) ma il punto sarà un massimo.

Se invece abbiamo un autovalore positivo e uno negativo allora sappiamo per certo che lungo una direzione abbiamo un minimo e lungo la seconda abbiamo un massimo. Le combinazioni lineari sono come una lancetta, facciamola ruotare in senso antiorario. Fino ad un angolo $alpha$ la concavità positiva "vince" contro quella negativa (se la superficie è perfettamente simmetrica, $alpha=pi/4$) e quindi anche lungo tutte le direzioni con angolo compreso fra zero e $alpha$, il nostro punto rappresenta un minimo. Nota bene, la pendenza verso l'alto della superficie tenderà mano a mano ad appiattirsi mano a mano che ci avviciniamo ad $alpha$.
Fra $alpha$ e $pi/2$ il discorso si inverte. La combinazione lineare privilegerà l'effetto della concavità negativa e lungo tutte queste direzioni il nostro punto rappresenta un massimo.

In altre parole: una volta che conosciamo i due autovettori e il segno dei due corrispondenti autovalori abbiamo già un quadro completo di cosa accade e non ci interessa guardare direzione per direzione. A questo punto sappiamo che è una sella.

Se un autovalore è zero invece possiamo andare a vedere cosa accade lungo questa direzione: nella maggior parte dei casi la concavità è zero pertanto la pendenza è costante. Qualche volta invece il nostro punto potrebbe essere un minimo o un massimo. Ma vabbè tanto in generale in questi casi la chiamano sempre "sella" anche se la pendenza è costante.

Ripeto, non mi è chiara la domanda del thread ma questo:
paolo.math ha scritto:ho 3 autovettori che sono una base cioè tutti gli altri vettori dello spazio R^3

è "sbagliato". La superficie sta in $R^4$ è del tipo $f(x,y,z)=w$. L'intorno puoi immaginarlo come una proiezione lungo la direzione $w$ in uno spazio (x,y,z) il cui riferimento ortogonale è dato dagli autovettori dell'Hessiana.
Avatar utente
Bokonon
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 1462 di 5942
Iscritto il: 25/05/2018, 20:22

Re: Punto di sella: perché se Hf(x0) è semidefinita lo è solo se per l'autovettore associato a λ=0 c'è un max o min?

Messaggioda paolo.math » 19/08/2019, 19:38

Bokonon ha scritto:Non si capisce granchè la domanda del thread...è come se fosse stato tagliato.

Provo a darti una visione "concreta" di ciò che si fa studiando l'Hessiana.
Innanzittuto riassumo assai brevemente i seguenti fatti. L'Hessiana racchiude informazioni sulla concavità di una superficie. E' simmetrica e pertanto ha sempre autovalori reali ed è sempre diagonalizzabile ed è sempre possibile quindi derivare una base di autovettori ortogonali fra di loro.
Il segno degli autovalori ci dice la concavità della superficie lungo quella direzione.

Ora, supponiamo di avere una $f(x,y)$ e di aver trovato un punto stazionario, ci chiediamo se sia un massimo o un minimo o una sella (in genere definiscono "sella" tutti i punti stazionari che non sono ne minimi ne massimi).
Guardiamo l'intorno di quel punto e, nota bene, nel suo intorno la superficie è da considerarsi piatta. Per comodità visualizziamolo come un cerchio. L'Hessiana è una matrice 2x2 pertanto troveremo due direzioni perpendicolari (autovettori) che possiamo disegnare dentro il cerchio.
Se entrambe le direzioni sono collegate ad autovalori positivi (l'Hessiana quindi è definita positiva), allora lungo di esse la concavità è positiva e lo sarà anche lungo tutte le direzioni che sono combinazioni lineari dei due autovettori. Quindi il nostro punto è un minimo relativo/assoluto.
Stessa cosa se entrambi gli autovalori sono negativi (Hessiana definita negativa) ma il punto sarà un massimo.

Se invece abbiamo un autovalore positivo e uno negativo allora sappiamo per certo che lungo una direzione abbiamo un minimo e lungo la seconda abbiamo un massimo. Le combinazioni lineari sono come una lancetta, facciamola ruotare in senso antiorario. Fino ad un angolo $alpha$ la concavità positiva "vince" contro quella negativa (se la superficie è perfettamente simmetrica, $alpha=pi/4$) e quindi anche lungo tutte le direzioni con angolo compreso fra zero e $alpha$, il nostro punto rappresenta un minimo. Nota bene, la pendenza verso l'alto della superficie tenderà mano a mano ad appiattirsi mano a mano che ci avviciniamo ad $alpha$.
Fra $alpha$ e $pi/2$ il discorso si inverte. La combinazione lineare privilegerà l'effetto della concavità negativa e lungo tutte queste direzioni il nostro punto rappresenta un massimo.

In altre parole: una volta che conosciamo i due autovettori e il segno dei due corrispondenti autovalori abbiamo già un quadro completo di cosa accade e non ci interessa guardare direzione per direzione. A questo punto sappiamo che è una sella.

Se un autovalore è zero invece possiamo andare a vedere cosa accade lungo questa direzione: nella maggior parte dei casi la concavità è zero pertanto la pendenza è costante. Qualche volta invece il nostro punto potrebbe essere un minimo o un massimo. Ma vabbè tanto in generale in questi casi la chiamano sempre "sella" anche se la pendenza è costante.

Ripeto, non mi è chiara la domanda del thread ma questo:
paolo.math ha scritto:ho 3 autovettori che sono una base cioè tutti gli altri vettori dello spazio R^3

è "sbagliato". La superficie sta in $R^4$ è del tipo $f(x,y,z)=w$. L'intorno puoi immaginarlo come una proiezione lungo la direzione $w$ in uno spazio (x,y,z) il cui riferimento ortogonale è dato dagli autovettori dell'Hessiana.


Ora ho capito, non avevo ben chiaro il significato geometrico con le combinazioni lineari. Grazie a tutti per la pazienza e il tempo dedicato :)
paolo.math
New Member
New Member
 
Messaggio: 9 di 64
Iscritto il: 13/08/2019, 19:31

Precedente

Torna a Analisi matematica di base

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite