Esercizio forma differenziale

Messaggioda maxira » 19/08/2019, 22:27

$ w=(z^2(x-1))/(x^2-2x+y^2-2y+2)dx+(z^2(y-1))/(x^2-2x+y^2-2y+2)dy+zln(x^2-2x+y^2-2y+2)dz $

Questa forma è definita su un dominio semplicemente connesso ed è chiusa, dunque è esatta. La sua primitiva è $ ln(x^2-2x+y^2-2y+2)z^2/2 $.

Se l'esercizio chiede di integrare w lungo:

$ (1+cost, 1+sent, 1) $

con t che varia tra 0 e $ pi $, posso evitare tutto il calcolo e trovare solo i punti iniziali e finali in cui valutare la primitiva?
Il risultato sarebbe zero.
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Re: maxira

Messaggioda gugo82 » 20/08/2019, 00:00

Beh, che dire… Il titolo del thread è davvero esplicativo. :roll:
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Esercizio forma differenziale

Messaggioda maxira » 20/08/2019, 08:27

Avevo dimenticato il titolo e mi ha dato quello in automatico.
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Re: Esercizio forma differenziale

Messaggioda Bokonon » 20/08/2019, 14:27

Avrai notato che:
$x^2-2x+y^2-2y+2=(x-1)^2+(y-1)^2$
é una somma di due quadrati quindi è sempre $>=0$
Quindi in tutti i punti $(1,1,z)$ (una retta) la funzione è indefinita.
Il dominio non è semplicemente connesso.

Inoltre il tragitto/segmento fra $A=(2,1,1)$ e $B=(0,1,1)$ darebbe certamente la soluzione se il campo fosse conservativo ma lo è? Il tragitto passa esattamente attraverso (1,1,1).
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Re: Esercizio forma differenziale

Messaggioda dissonance » 20/08/2019, 15:16

Buona osservazione quella di Bokonon. Ma se davvero hai trovato UNA primitiva (e non LA primitiva, questi sono errori, al paese mio), allora non c'è problema per calcolare l'integrale come differenza. La formula
\[
\int_{\gamma}df =f(B)-f(A), \]
dove \(\gamma\) è una curva semplice che inizia in \(A\) e termina in \(B\), è sempre vera, indipendentemente dal dominio di \(df\).
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Re: Esercizio forma differenziale

Messaggioda Bokonon » 20/08/2019, 16:27

@Dissonance
Non l'ho scritto perchè francamente non so se quello che sto per dire possa avere senso quindi è più una domanda che altro.
Ma non si potrebbe analizzare cosa accade nell'intorno del punto (1,1,1) lungo solo il piano XY?
Far girare la traiettoria in una circonfenrenza e vedere se è effettivamente irrotazionale?
Oppure si è già certi che anche in questa casistica il "lavoro" è indipendente dalla traiettoria?
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Re: Esercizio forma differenziale

Messaggioda dissonance » 20/08/2019, 16:39

@Bokonon: io non ho controllato i conti, ma nel post iniziale c'è scritta una primitiva. Se i conti non sono sbagliati e quella è davvero una primitiva, non c'è altro da fare, la forma è esatta.

Intuisco che la tua domanda è generale; tu vuoi sapere, data una forma differenziale chiusa e definita su \(\mathbb R^3\setminus\{(0,0,z)\ :\ z\in\mathbb R\}\), se sia sufficiente l'annullarsi di un solo integrale lungo una circonferenza che avvolge l'asse delle \(z\) per concludere che la forma è esatta. La risposta è si.
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Re: Esercizio forma differenziale

Messaggioda Bokonon » 20/08/2019, 21:51

@Dissonance
Esattamente quello.
E lo chiedo perchè non ho fatto conti, ho guardato solo la primitiva (e calcolando a mente le derivate parziali sono corrette) ma ho anche "visualizzato" (prob. erroneamente) una funzione simmetrica rispetto alla retta e un campo vettoriale "asintotico" verso la retta verso $-oo$ (tante freccette che scendono a cascata nell'intorno della retta che spingono la massa verso di essa). E quindi (ma non ho fatto conti) mi chiedevo se effettivamente il lavoro necessario per passare attraverso o attorno alla retta non sia infinito.

Insomma, ho appena cenato e bevuto ma questa era l'immagine furiosa che mi era venuta in mente, LOL.
Francamente, non ho mai studiato fisica se non per hobby ma mi incuriosisce il problema.

Quindi forse vale la pena verificare che effettivamente una curva/circonferenza chiusa nell'intorno della retta abbia lavoro pari a zero. Mi piacerebbe sentire anche il punto di vista di un fisico, non si finisce mai di imparare.
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Re: Esercizio forma differenziale

Messaggioda dissonance » 20/08/2019, 22:54

Pure io ho appena finito di cenare e non è mancato il vino. Ma sono ancora in grado di ricordare la legge di Ampère, secondo cui la circuitazione attorno a una linea di corrente (=linea lungo cui una forma differenziale è indefinita) è uguale alla corrente circuitata. In particolare, se una tale circuitazione è nulla vuol dire che lungo il filo non c'è corrente, e quindi che il campo è conservativo.
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Re: Esercizio forma differenziale

Messaggioda Bokonon » 20/08/2019, 23:00

Oh, grazie dell'ottima risposta. Affascinante.
Prima o poi seguirò quel corso del MIT su elettricità e magnetismo, nel frattempo grazie.
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