domanda su estremi di integrazione

Messaggioda bastian.0 » 19/08/2019, 21:47

ciao a tutti.
Ho una domanda. Ipotizzo una integrazione tra -1 e 1 $ int_(-1)^(1) \sqrt (1-y^2) dx $
io opto per la sostituzione y=sint quindi dy=costdt e mi ritrovo con un integrale in cos^2t dt però noto che quando sostituisco gli estremi di integrazione con t=arcsiny si ribaltano cioè sotto viene l'estremo maggiore (3/2 pi) e sopra (1/2 pi) e quindi l'integrale mi viene negativo a differenza di prima che era il minore sotto come al solito.
Posso ribaltarli a prescindere dalla corrispondenza e mettere sempre sotto l'estremo più piccolo ( 1/2 pi) e sopra quello più grande (3/2 pi) ?
Questo perché l'esercizio mi diceva di calcolare una misura (area) tra cerchio di centro l'origine e raggio 1 e ellisse di semiasse a 2 e semiasse b 1 nella parte di piano x positivo e così verrebbe un'area negativa.
Grazie mille
bastian.0
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Re: domanda su estremi di integrazione

Messaggioda pilloeffe » 20/08/2019, 01:14

Ciao bastian.0,
bastian.0 ha scritto:Ipotizzo una integrazione tra -1 e 1 $\int_{-1}^1\sqrt{1 - y^2}dx $

Beh, scritto come l'hai scritto l'integrale proposto è immediato:

$\int_{-1}^1\sqrt{1 - y^2}\text{d}x = \sqrt{1 - y^2} \int_{-1}^1 \text{d}x = 2 \sqrt{1 - y^2}$

Se invece, come sospetto, intendevi $\int_{-1}^1\sqrt{1 - x^2}\text{d}x $ è semplicemente l'area di un semicerchio di centro l'origine e raggio $1$, quindi è ancora immediato:

$\int_{-1}^1\sqrt{1 - x^2}\text{d}x = \pi/2 $
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Re: domanda su estremi di integrazione

Messaggioda bastian.0 » 20/08/2019, 09:19

Si questo si l'ho capito però se volessi utilizzare una sostituzione con sint si invertono gli estremi di integrazione non sono più minore sotto e maggiore sopra come prima. Mi viene un' area negativa se seguo la regola generale perché sotto avrei 3/2 pi e sopra 1/2 pi. Lo faccio su uno semplice per sapere poi cosa fare su uno più complesso. Grazie.
bastian.0
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Re: domanda su estremi di integrazione

Messaggioda pilloeffe » 21/08/2019, 22:06

Beh, se proprio dovessi risolverlo con la sostituzione proposta $x := sin t $ osserverei preliminarmente che l'integrale proposto è quello di una funzione pari su un intervallo simmetrico per cui si ha:

$ \int_{-1}^1\sqrt{1 - x^2}\text{d}x = 2 \int_0^1\sqrt{1 - x^2}\text{d}x $

Posto $ x := sint \implies \text{d}x = cos t \text{d}t $ per $x = 0 $ si ha $ t = 0 $, mentre per $ x = 1 $ si ha $t = \pi/2 $, dunque si ha:

$ 2 \int_0^1\sqrt{1 - x^2}\text{d}x = 2 \int_0^{\pi/2} cos^2 t \text{d}t = \int_0^{\pi/2} [1 + cos(2 t)]\text{d}t = \pi/2 $

Risultato che coincide con quello già ottenuto precedentemente.
pilloeffe
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