Area di una superficie ellittica

Messaggioda donzo93 » 19/08/2019, 18:18

Buongiorno a tutti! Cattive notizie dal fronte Analisi 2: mi sono imbattuto in un esercizio in cui si chiede di calcolare l'area della superficie dell'ellissoide $ x^2+y^2+z^2/2^2=1 $. Pensando di cavarmela rapidamente utilizzando la formula per gli integrali di superficie e quindi ho parametrizzato in:

$Sigma:\ { ( x=costhetasinphi ),( y=sinthetasinphi ),( z=2cosphi ):}, theta in [0,2pi), phi in [0, pi]$

Ottengo che $ |vecr'_theta(theta,phi)xx vecr'_phi(theta,phi)|= sinphisqrt(4-3cos^2phi) $, e quindi il mio integrale di superficie sarà:
$ Sigma=int_(0)^(2pi) (int_(0)^(pi)sinphisqrt(4-3cos^2phi)\ dphi) d theta = 2pi int_(0)^(pi)sinphisqrt(4-3cos^2phi)\ dphi $
che è piuttosto brutto. Soprattutto contando che questo è uno dei 15/18 punti che in media ci sono nel tema d'esame. Volevo chiedervi se a parte risolvere direttamente questo integrale non esiste altro modo, meno calcolotico, per rispondere al quesito. Ho pensato di utilizzare la formula di Pappo-Guldino per le aree dei solidi di rotazione, ma non mi pare così tanto meglio. Ringrazio in anticipo chi mi aiuterà.

Marco
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Re: Area di una superficie ellittica

Messaggioda gugo82 » 20/08/2019, 08:48

Hai provato a parametrizzare in coordinate cilindriche?
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Area di una superficie ellittica

Messaggioda pilloeffe » 20/08/2019, 09:30

Ciao donzo93,

In generale l'equazione di un ellissoide è la seguente:

$ x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2 = 1 $

Nel caso specifico si ha $a = b = 1 < c = 2 $, per cui si tratta di un ellissoide di rotazione (attorno all'asse $z$) o sferoide prolato (pallone da rugby in piedi per intenderci) e si può scrivere

$ (x^2+y^2)/a^2+z^2/c^2 = 1 $

In generale non è elementare calcolare la superficie di un ellissoide, dai un'occhiata qui
Nel caso in esame, trattandosi di un solido di rotazione attorno all'asse $z$ è probabile che il tuo professore intenda proprio farti usare la formula di Pappo-Guldino. Dai un'occhiata anche qui.
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Re: Area di una superficie ellittica

Messaggioda donzo93 » 20/08/2019, 16:04

Grazie a tutti ragazzi!

gugo82 ha scritto:Hai provato a parametrizzare in coordinate cilindriche?

Sì, ma non ero riuscito a parametrizzare correttamente. Riproverò più tardi. Grazie della dritta

pilloeffe ha scritto:In generale non è elementare calcolare la superficie di un ellissoide...
Nel caso in esame, trattandosi di un solido di rotazione attorno all'asse z è probabile che il tuo professore intenda proprio farti usare la formula di Pappo-Guldino.

Eh, ho visto che non è elementare, proprio per nulla :( Riguardo a Pappo-Guldino è quello che ho pensato anche io, anche perchè mi pare assurdo che in un tema d'esame da 15/18 punti divisi su 5/6 esercizi, di cui nessuno facoltativo, mi si metta un esercizio del genere che richiede un numero di sostituzioni non indifferente per essere risolto.

Ad ogni modo vi ringrazio perchè siete sempre gentilissimi e precisi.
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Re: Area di una superficie ellittica

Messaggioda Bokonon » 20/08/2019, 22:31

Ma il risultato è $8/3pi$?
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Re: Area di una superficie ellittica

Messaggioda donzo93 » 21/08/2019, 00:04

Bokonon ha scritto:Ma il risultato è $8/3pi$?

Non credo... se ho svolto i calcoli correttamente viene $Sigma= 2pi(1+ (4sqrt3pi)/9) $. Come sei giunto a quel risultato?
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Re: Area di una superficie ellittica

Messaggioda Bokonon » 21/08/2019, 12:08

donzo93 ha scritto:Come sei giunto a quel risultato?

Facendo i conti a mente e infatti ho sbagliato l'integrale :)
Ho pensato al seguente approccio.
E' un ellissoide centrato nell'origine, quindi pefettamente simmetrico.
Se lo si taglia a fette, sono tutte circonferenze: per esempio per z=0 abbiamo una circonferenza di raggio 1.

Riscrivendo la funzione come $x^2+y^2=1-z^2/4=r^2$ abbiamo un raggio $r=sqrt(1-z^2/4)$
Sommando i perimetri delle circonferenze $2pir$ per $0<=z<=2$ abbiamo metà superficie.

Quindi la superficie totale è data da $4pi int_0^2sqrt(1-z^2/4)dz=2pi^2$
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Re: Area di una superficie ellittica

Messaggioda donzo93 » 21/08/2019, 16:52

Bokonon ha scritto: E' un ellissoide centrato nell'origine, quindi pefettamente simmetrico.
Se lo si taglia a fette, sono tutte circonferenze: per esempio per z=0 abbiamo una circonferenza di raggio 1.

Riscrivendo la funzione come $x^2+y^2=1-z^2/4=r^2$ abbiamo un raggio $r=sqrt(1-z^2/4)$
Sommando i perimetri delle circonferenze $2pir$ per $0<=z<=2$ abbiamo metà superficie.

Quindi la superficie totale è data da $4pi int_0^2sqrt(1-z^2/4)dz=2pi^2$

Mi sembra sensato! Però non mi spiego come mai il risultato calcolato con l'integrale di superficie e quello calcolato così siano tanto differenti. Ho verificato i miei conti con wolfram ed è tutto giusto, del resto anche quello che hai fatto tu pare giusto... ma uno dei due è sbagliato per forza! :| :|

Bokonon ha scritto: Facendo i conti a mente e infatti ho sbagliato l'integrale :)

Io se non li scrivo manco riesco a cominciarli gli integrali, anche quelli relativamente semplici... :(
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Re: Area di una superficie ellittica

Messaggioda Bokonon » 21/08/2019, 21:42

donzo93 ha scritto:Mi sembra sensato! Però non mi spiego come mai il risultato calcolato con l'integrale di superficie e quello calcolato così siano tanto differenti. Ho verificato i miei conti con wolfram ed è tutto giusto, del resto anche quello che hai fatto tu pare giusto... ma uno dei due è sbagliato per forza! :| :|

Anche solo ragionando qualitativamente, vediamo dove arriviamo.
L'area di una circonferenza di raggio 1 è $pi^2$
Ora immagina di prendere il piano $z=0$ (ovvero in piano XY in $R^3$) e di proiettarci sopra tutte le "fette"/circonferenze fra $0<=z<=2$. L'insieme delle proiezioni "riempe" la circonferenza di raggio 1 sul piano XY e quindi stiamo sostanzialmente calcolandone l'area.
Stessa cosa con le proiezioni $-2<=z<=0$. Quindi la superficie è pari a due volte l'area, ovvero $2pi^2$.

E' vero che ho usato la geometria ma in realtà quello che ho scritto è semplicemente la parametrizzazione con coordinate cilindriche che ti è già stata consigliata. Provaci e vedrai che verrà fuori un integrale banale.
In effetti io spesso prima deduco la risposta corretta e poi (ai miei tempi) scrivo l'integrale sul foglio compito impostato correttamente senza manco risolverlo. Visualizzare è sempre un buon esercizio: e se spendi del tempo "vedendo" possibili soluzioni alternative, giova nel lungo periodo.

donzo93 ha scritto:Io se non li scrivo manco riesco a cominciarli gli integrali, anche quelli relativamente semplici... :(

Solo tu?
Ieri sera ho calcolato l'integrale $4pi int_0^2 (1-z^2/2) dz$ quindi non solo ho "copiato" male la funzione nella mia testa ma non ho nemmeno messo sotto radice, LOL.
Consolati!
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Re: Area di una superficie ellittica

Messaggioda Bokonon » 22/08/2019, 23:24

Bokonon ha scritto:Anche solo ragionando qualitativamente, vediamo dove arriviamo.
L'area di una circonferenza di raggio 1 è $pi^2$
Ora immagina di prendere il piano $z=0$ (ovvero in piano XY in $R^3$) e di proiettarci sopra tutte le "fette"/circonferenze fra $0<=z<=2$. L'insieme delle proiezioni "riempe" la circonferenza di raggio 1 sul piano XY e quindi stiamo sostanzialmente calcolandone l'area.
Stessa cosa con le proiezioni $-2<=z<=0$. Quindi la superficie è pari a due volte l'area, ovvero $2pi^2$.

Questa è una solenne boiata.
Non intacca la soluzione ma è davvero una grande cazzata quella che ho scritto.
Me ne sono accorto prima di addormentarmi.
Se fosse vera allora $4pi int_0^a sqrt(1-z^2/a^2)dz$ varrebbe sempre $2pi^2$ e quindi la superficie di una sfera "tirata/deformata" lungo l'asse Z sarebbe costante indipendentemente da quanto la "tiro".
Ma perchè il ragionamento qualitativo non funziona? Questo ha richiesto una riflessione extra...durante una coda alle poste.
Idee? :D
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